发布时间 : 星期二 文章（全国通用）2018版高考数学总复习 考前三个月 解答题滚动练8 理更新完毕开始阅读
解答题滚动练8
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1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋＝2cos A.
2(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围. 解 (1)根据倍角公式cos 2x＝2cosx－1， 12
得2cosA＋＝2cos A，
2即4cosA－4cos A＋1＝0， 所以(2cos A－1)＝0，
1π
所以cos A＝，又因为0＜A＜π，所以A＝.
23(2)根据正弦定理＝＝，
sin Asin Bsin C得b＝
2
2
sin B，c＝sin C， 33
23
(sin B＋sin C)，
2
2
2
abc所以l＝1＋b＋c＝1＋π2π
因为A＝，所以B＋C＝，
33
2ππ?2?????－BB＋所以l＝1＋?sin B＋sin???＝1＋2sin??，
6??3???3?2π
因为0＜B＜，所以l∈(2，3].
3
2.某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为2万元，贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的困难户中抽取了100户进行了调查统计，其贷款期限的频数如下表：
贷款期限 频数
以上表各种贷款期限的频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率.
(1)某小区2017年共有3户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率；
6个月 20 12个月 40 18个月 20 24个月 10 36个月 10 (2)设给享受此项政策的某困难户补贴为ξ元，写出ξ的分布列，若预计2017年全市有3.6万户享受此项政策，估计2017年该市共要补贴多少万元. 解 (1)由已知一困难户选择贷款期限为12个月的概率是0.4，
所以小区2017年准备享受此项政策的3户恰有两户选择贷款期限为12个月的概率是
2P1＝C23×0.4×0.6＝0.288.
(2)P(ξ＝200)＝0.2，P(ξ＝300)＝0.6，P(ξ＝400)＝0.2， 所以ξ的分布列是
ξ 200 0.2 300 0.6 400 0.2 P E(ξ)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
所以估计2017年该市共要补贴1 080万元.
3.(2017·北京丰台二模)如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF； (2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；
(3)在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
(1)证明 由已知得EF∥CD，且EF＝CD. 因为四边形ABCD为等腰梯形，所以有BG∥CD. 因为G是棱AB的中点，所以BG＝CD. 所以EF∥BG，且EF＝BG，
故四边形EFBG为平行四边形，所以EG∥FB. 因为FB?平面BDF，EG?平面BDF， 所以EG∥平面BDF.
(2)解 因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥DC. 因为平面CDEF⊥平面ABCD， 平面CDEF∩平面ABCD＝DC，
FHHCDE?平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD.
在△ABD中，因为∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2， 所以由余弦定理，得BD＝3，所以AD⊥BD. 在等腰梯形ABCD中，可得DC＝CB＝1.
如图，以D为原点，以DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，3??1
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，3，0)，F?－，，1?，
?22?
3?→→→?1
所以AE＝(－1，0，1)，DF＝?－，，1?，DB＝(0，3，0).
?22?设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·DB＝0，
由?
→??n·DF＝0，
?3y＝0，
?得?13
－x＋y＋z＝0，?2?2
取z＝1，则x＝2，y＝0， 得n＝(2，0，1).
→
|AE·n|10→
设直线AE与平面BDF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈AE，n〉|＝＝，
→10|AE|| n|所以AE与平面BDF所成的角的正弦值为10. 10
(3)解 线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD.理由如下： 3??1
假设线段FC上存在点H，设H?－，，t?(0≤t≤1)，
?22?3?→?1
则DH＝?－，，t?，
?22?
设平面HAD的法向量为m＝(a，b，c)， →??m·DA＝0，由?
→??m·DH＝0，
a＝0，??
得?13
－a＋b＋tc＝0，?2?2
2
取c＝1，则a＝0，b＝－
2??
t，得m＝?0，－ t，1?.
3??3
要使平面BDF⊥平面HAD，只需m·n＝0，
即2×0－
23
t×0＋1×1＝0，此方程无解.
所以线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD.
4.已知函数f(x)＝aln x＋b(a，b∈R)，曲线f(x)在x＝1处的切线方程为x－y－1＝0. (1)求a，b的值； 1
(2)证明：f(x)＋≥1；
x(3)已知满足xln x＝1的常数为k.令函数g(x)＝me＋f(x)(其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28…)，若x＝x0是g(x)的极值点，且g(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围. (1)解 f(x)的导函数f′(x)＝，
由曲线f(x)在x＝1处的切线方程为x－y－1＝0，知f′(1)＝1，f(1)＝0，所以a＝1，b＝0.
11
(2)证明 令u(x)＝f(x)＋－1＝ln x＋－1，
xaxxx11x－1
则u′(x)＝－2＝2，
xxx当0＜x＜1时，u′(x)＜0，u(x)单调递减；当x＞1时，
u′(x)＞0，u(x)单调递增，所以当x＝1时，u(x)取得极小值，也即最小值，该最小值为u(1)
＝0，
1
所以u(x)≥0，即不等式f(x)＋≥1成立.
x(3)解 函数g(x)＝me＋ln x(x＞0)， 1x则g′(x)＝me＋，
xx当m≥0时，g′(x)＞0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)无极值，不符合题意； 11xx当m＜0时，由g′(x)＝me＋＝0，得e＝－，
xmx11xx结合y＝e，y＝－在(0，＋∞)上的图象可知，关于x的方程me＋＝0一定有解，其解为
mxxx0(x0＞0)，且当0＜x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)在(0，x0)内单调递增；
当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)在(x0，＋∞)内单调递减. 则x＝x0是函数g(x)的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，
x＝x0也是g′(x)＝0在(0，＋∞)上的唯一零点，
11x
即me0＝－，则m＝－x0.
x0
ex0
1x
所以g(x)max＝g(x0)＝me0＋ln x0＝－＋ln x0.
x0
由于g(x)≤0恒成立，则g(x)max≤0， 1
即－＋ln x0≤0，
x0
(*)
111
考查函数h(x)＝ln x－，则h′(x)＝＋2＞0，
xxx1?1?所以h(x)为(0，＋∞)上的增函数，且h??＝－1－e＜0，h(e)＝1－＞0， e?e?1
又常数k满足kln k＝1，即－＋ln k＝0，
k1
所以k是方程－＋ln x0＝0的唯一根，
x0
于是不等式(*)的解为x0≤k，
111
又函数t(x)＝－x(x＞0)为增函数，故m＝－x0≤－k，
exekex0所以m的取值范围是?－∞，－
?
?
1?. kek??