发布时间 : 星期三 文章【省会检测】2018年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)更新完毕开始阅读
（2）证明：设直线PQ的方程为x=my+1，代入3x2+4y2=12， 得（3m2+4）y2+6my﹣9=0． 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则∴
=（m2+1）y1y2+3m（y1+y2）+9=∴∠PDQ不可能为直角．
【点评】本题考查定义法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等，是中档题．
21．（12.00分）已知函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣a）+ax． （1）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程； （2）若当x＞0时，f（x）＞0，求a的取值范围． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（2）先求导，再构造函数g（x）=（1+x﹣a）ex+（a﹣1），再求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）+x=xex﹣ex+1， ∴f′（x）=xex， ∴k=f′（1）=e， ∵f（1）=1，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y﹣1=e（x﹣1），即ex﹣y﹣e+1=0； （2）∵f′（x）=（1+x﹣a）ex+（a﹣1）， 令g（x）=（1+x﹣a）ex+（a﹣1）， ∴g′（x）=（2+x﹣a）ex，
①当a≤2时，g′（x）＞0，在（0，+∞）上恒成立， ∴g（x）在（0，+∞）上为增函数， ∴g（x）＞g（0）=1﹣a+a﹣1=0 ∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
第21页（共24页）
，．
=（my1+1）（my2+1）+2（my1+1+my2+1）+4+y1y2
=
＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数， ∴f（x）＞f（0）=0， ②当a＞2时，
当x∈（0，a﹣2）时，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数， ∵g（0）=（1﹣a）+（a﹣1）=0，
∴当x∈（0，a﹣2）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，函数f（x）在（0，a﹣2）为减函数， ∵f（0）=0，
∴当x∈（0，a﹣2）时，f（x）＜0， 即f（x）＞0不是对一切x＞0都成立，
综上所述，a≤2，即a的取值范围为是（﹣∞，2]．
【点评】本题考查了导数以及应用，不等式等基础知识，考查了推理论证能力，运算求解能力，抽象概括能力等，考查了函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想，数形结合思想等，属于难题．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ﹣
）=2．已知点Q为曲线
C1的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|?|OP|=4，动点P的轨迹为C2． （1）求C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为（2，
），点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值．
【分析】（1）设P的极坐标为（ρ，θ），（ρ＞0），Q的极坐标方程为（ρ1，θ），（ρ1＞θ），则|OP|=ρ，|OQ|=ρ1=
，由题设|OP|=ρ，
|OQ|=ρ1=，由|OQ|?|OP|=4，能求出C2的直角坐标方程．
），
（2）设点B的极坐标为（ρB，α），（ρB＞0），由题设知|OA|=2，ρB=2cos（从而△AOB的面积S=|OA|?ρB?sin∠AOB=2|sin2α﹣|
第22页（共24页）
．由此能求出△AOB
面积的最大值．
【解答】解：（1）设P的极坐标为（ρ，θ），（ρ＞0），Q的极坐标方程为（ρ1，θ），（ρ1＞θ），
由题设知|OP|=ρ，|OQ|=ρ1=
，
由题设知|OP|=ρ，|OQ|=ρ1=
由|OQ|?|OP|=4，得C2的极坐标方程为∴C2的直角坐标方程为（x﹣
，
，（ρ＞0），
）2+（y﹣）2=1，但不包含（0，0）．
（2）设点B的极坐标为（ρB，α），（ρB＞0）， 由题设知|OA|=2，ρB=2cos（
），
∴△AOB的面积S=|OA|?ρB?sin∠AOB =2cos（=2|sin2α﹣|
）?|sin（
．
）|
当α=0时，S取得最大值为． ∴△AOB面积的最大值为．
【点评】本题考查极坐标方程、直线与圆的位置关系、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数 f（x）=x2﹣|x|+1． （1）求不等式 f（x）≥2x 的解集； （2）若关于 x 的不等式f（x） 范围．
【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可； （2）得到关于a的不等式组，解出即可．
第23页（共24页）
在[0，+∞）上恒成立，求 a 的取值
【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x2﹣x+1≥2x， 解得：0≤x≤
或x≥
，
x＜0时，f（x）=x2+x+1≥2x，解得：x＜0， 综上，x∈（﹣∞，
]∪[
，+∞）；
（2）f（x）≥|+a|，x∈[0，+∞）， 故x2﹣x+1≥|+a|，
故，
解得：﹣≤a≤．
【点评】本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．
第24页（共24页）