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第三章 几何光学的基本原理
1．证明反射定律符合费马原理。
证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。
? nds ? min . max 或恒值
A
B
，在介质 n 与n' 的界面上，入射光 A 遵守反射定律i1 ? i1,
??
经 O 点到达 B 点，如果能证明从 A 点到 B 点的所有光程中 AOB 是最小光程，则说明反射定律
符合费马原理。
设 C 点为介质分界面上除 O 点以外的其他任意一点，连接 ACB 并说明光程? ACB>光程
? AOB
由于? ACB 与? AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两
个路程 ACB 与 AOB 的大小。
? 至 B′，使O ?B ? ? O ?B，连接 OB ? ，根 从 B 点到分界面的垂线，垂足为o? ，并延长B O ? ，又可证明∠A? ? 180 °，说明A? OB ? ，再结合i1 ? i1据几何关系知OB OB OB? 三点在
?? ? 与 ? 组成ΔACBAOB ? ，一直线上， AC 和CB 其中A OB ? AC ? CB 。又? ? OB ? ? AO ? OB ? AOB , CB ? ? CB ∵A OB ? AO
? AOB ? AC ? CB ? ACB
即符合反射定律的光程A OB是从 A 点到 B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费 马原理。
B A i’ n O‘ O C n’ B‘ 27
2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程 都相等.由此导出薄透镜的物象公式。 证明：由 QBA～FBA 得：OF\\AQ=BO\\BQ=f\\s
s ? ,BO\\BA=f\\s 同理，得 OA\\BA= f \\
A? =NQQ ?由费马定理：NQA+NQ
?
?
?结合以上各式得：(OA+OB)\\BA=1 得证
3．眼睛 E 和物体 PQ 之间有一块折射率为 1.5 的玻璃平板(见题 3.3 图),平板的厚度 d 为 30cm. 求物 PQ 的像 与物体 PQ 之间的距离 为多少? 解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为： 1 2 pp ? ? d(1 ? ) ? 30(1 ? ) ? 10cm n 3 n= E 题3.3图
4．玻璃棱镜的折射棱角 A 为 60 度,对某一波长的光其折射率为 1.6.计算(1)最小偏向角;(2) 此时的入射角;(3)能使光线从 A 角两侧透过棱镜的最小入射角.
A? 0 ? A
解：由最小偏向角定义得 n=sin 2 /sin 2 ,得?0 =46 ゜１６′
? 0 ? A
由几何关系知，此时的入射角为:i= 2 =５３゜８′
1
-1 1.6 =38 当在 C 处正好发生全反射时：i2 ’= sin゜ 41′,i2=A- i2 ’=21 ゜ 19′
? i1= sin-1(1.6sin21 ゜ 19′)= 35 ゜ 34′
? ｉmin＝３５゜３4′
５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个 30 度-60-90 度棱镜与一个 45 度-45 度度棱镜按图
示方式组合在一起.白光沿 i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变?1 ，从而使任意一种波长
n sin ?1 ??2 则? 2 ? ?1 ，且光的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为 r.求证：如果
i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解：??sin ? 1 ? nsin i1
28
n 1
若 sin ? 1 = 2 , 则 sini1 = 2 , i1=30 。 则 i 2=30 。
,sin ??2 ? i 而 nsin
2
? ? 1 ? ? 1 ? 90 。
，而? 1? ??2 ? ?2 ? ? 1 ? 90 。
，? ? ? i 题 3.5 图 得证。 ６．高５cm 的物体距凹面镜的焦距顶点 12cm，凹面镜的焦距是１０cm,求像的位置及高度，
并作光路图．
1
? 1 ?? 1 解：∵
f ? ? ?10cm , s ? ?12cm 又s s ? f ??
?? 1 ? ? ? 1 ∴ 12 1 s ??
10 ，即s ? ? ?60cm， ? ? ?
y ? ? s ?
?y ? ? ? ys ?y s
∴
s ?=-25cm 即像在镜前 60cm 处，像高为 25cm
７．一个５cm 高的物体放在球面镜前１０cm 处成 1cm 高的虚像．求（１）此像的曲率半径；（２）此镜是凸面镜还是凹面镜？
解：由题知物体在球面镜前成虚象，则其为反射延长线的交点，
? ??
y
y ? ? ? s ?
∵
s
?s ? ? ? y ?s 1 1 2 ∴ y ? 2cm ? ， 又 s
s ? ?? r ， ∴r ? 5cm ?0 ，所以此镜为凸面镜。 ８．某观察者通过一块薄玻璃板去看凸面镜中他自己的像．他移动着玻璃板，使得在玻璃板
中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面镜的焦距为１０cm ,眼睛距凸面镜 顶点的距离灵 40cm,问玻璃板观察者眼睛的距离为多少?
1
? 1 ? 1 ??1 ? 1 ?1解：根据题意，由凸面镜成像公式得：s ??s f
? s ? 40 10 ? s ? ? 8cm
29
? ? 48cm， ∴凸透镜物点与像点的距离d ? s? s
d
? 24cm 2 。 则玻璃距观察者的距离为
9.物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平
行的玻璃板,其厚度为 d1,折射率为 n.试证明:放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向 物体移动 d(n-1)/n 的一段距离的效果相同。
解：证明：将玻璃板置于凹面镜与焦点之间，玻璃折射成像，由三题结果得ｄ0 ＝ｄ（１－ １＼ｎ），即题中所求。
10.欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的 折射率为多少?
n' n n' ?n ? ?
? ,由物像公式: s' s r 解：设球面半径为 r，物距和相距分别为 s 和s
? =2r,n=1,得nS= ? , s ' =2
11.有一折射率为 1.5,半径为 4cm 的玻璃球,物体在距球表面 6cm 处,求(1)物所在的像到球心
之间的距离;(2)像的横向放大率.
? n ? ? nn n ? ? ? , n ? ? 1.5, n ? 1, r ? 4cm s r 解： s ??的玻璃球。
对第一个球面，s ? ?6cm
1.5 1 1.5 ? ? ? ?? s ? 6 4 ，? s ? ? ?36cm ? 1s ? ?36 ? 8 ? ?44cm 对第二个球面 2
1.5 1 ? ??? ?? s ? 44 ? 4 2∴ 1.5 1
∴ 2
s ? ? 11
∴从物成的像到球心距离 ? 15cm ol ? s ?2? r
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