发布时间 : 星期一 文章2020年临沂市沂南县中考数学一模试卷含答案解析更新完毕开始阅读
∴EF=GH；
（3）解：如图3，过点F作FP⊥BC于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，
∴∠AHO=∠CGO， ∵FH∥EG，
∴∠FHO=∠EGO， ∴∠AHF=∠CGE， ∴△AHF∽△CGE， ∴
=
=
=，
∵EC=2， ∴AF=1，
∴在Rt△FPE中，EF=∵FH∥EG， ∴
=
，
=
，
由（2）得：HG=EF， ∴FO=HO，
∴S△FOH=FO2=×（EF）2=∴阴影部分的面积为：
．
，S△EOG=EO2=×（EF）2=
，
26．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
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（1）如图1，如果B点坐标为（2，3），那么k= 1 ；A点坐标为 （﹣1，0） ； （2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）把（2，3）代入其中一个函数解析式即可求出k的值，求出抛物线的解析式后，令y=0代入，求出x的值，即可求出A的坐标；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D且交AB于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点P的横坐标为a，然后分别求出PE和AF的长度，所以△ABP的面积为PE?AF，利用二次函数的性质即可求出△ABP的面积最大值；
（3）在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，即以CO为直径的圆与直线AB相切，此时切点为Q，利用相似三角形的性质求出AQ的长度，再利用切线长定理和勾股定理即可求出AO的长度，从而求出k的值．
【解答】解：（1）把B（2，3）代入y=x2+（k﹣1）x﹣k， ∴3=4+2（k﹣1）﹣k ∴k=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣1， 令y=0代入y=x2﹣1， ∴x=±1，
∴A的坐标为（﹣1，0）， 故答案为：1； A（﹣1，0）；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D且交AB于点E， 过点B作BF⊥x轴于点F，如图1， ∴由（1）可知：k=1，
∴直线AB的解析式为y=x+1， ∵B（2，3）， ∴F（2，0），
设P的坐标为（a，a2﹣1），﹣1＜a＜2， △ABP的面积为S， ∴E的横坐标为a， 把x=a代入y=x+1，
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∴y=a+1，
∴E的坐标为（a，a+1），
∴PE=（a+1）﹣（a2﹣1）=﹣a2+a+2， ∴S=PE?OD+PE?DF =PE?AF =（﹣a2+a+2） =﹣（a﹣）2+
，
当a=时，S的最大值为此时，P（，
）；
（3）以CO为直径，作⊙M， 当直线AB与⊙M相切时，
此时在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，且切点为Q， 连接QM，如图2
令y=0代入y=x2+（k﹣1）x﹣k， 解得：x=﹣k或x=1， ∴C（﹣k，0）
设直线AB与y轴交于点G， 令x=0代入y=kx+1， ∴x=﹣ ∴A（﹣，0）， 令x=0代入y=kx+1 ∴y=1， ∴G（0，1）， ∴OG=1，AO=，OC=k， ∵∠MQA=∠AOG=90°， ∠GAO=∠GAO， ∴△QAM∽△OAG， ∴
=
，
∵QM=OC=，
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∴，
∴AQ=，
∵GO与⊙M相切，
∴由切线长定理可知：GO=QG=1， ∴AG=AQ+GO=， ∴由勾股定理可求得：AO=∴=∴k=
， ．
=
，
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