发布时间 : 星期一 文章2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)更新完毕开始阅读
恒成立．
设g（x）＝aln（x+1）﹣2x．
∵∴当∴g（x）在∴g（x）在
，由a＞0知，时，g'（x）＞0；当上单调递增，在时取得最大值．
，
时，g'（x）＜0， 上单调递减，
又∵g（0）＝0，∴对任意的x∈（﹣1，+∞），g（x）≤g（0）恒成立，即g（x）的最大值为g（0）． ∴
，解得a＝2；
（Ⅱ）由f（x）是减函数，且f（0）＝0可得，当x＞0时，f（x）＜0， ∴f（n）＜0，即2（n+1）ln（1+n）＜n+2n． 两边同除以2（n+1）得，从
2
2
，即．
而
， ∴
①．
下面证记∴
．
，x∈[1，+∞）．
，
∵在[2，+∞）上单调递增，
，
∴h'（x）在[2，+∞）上单调递减，而
∴当x∈[2，+∞）时，h'（x）＜0恒成立，
∴h（x）在[2，+∞）上单调递减，即x∈[2，+∞），h（x）≤h（2）＝2ln4﹣ln3﹣3ln2＝ln2﹣ln3＜0，
∴当n≥2时，h（n）＜0． ∵
∴当n∈N时，h（n）＜0，即综上①②可得，
．
*
，
②．
【点评】本题考查利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明数列不等式，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（θ为参数）．在以
2
原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为ρ＝4ρsinθ﹣3．
（Ⅰ）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）根据平方关系式可得C1 的直角坐标方程，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得C2的直角坐标方程；
（2）|PQ|的最大值为C1上的点到圆心C2的最大值加上半径． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为
2
2
2
2
，
曲线C2的直角坐标方程为x+y＝4y﹣3，即x+（y﹣2）＝1．…………………………（5分） （Ⅱ）设
P点的坐标为（2cosθ，sinθ）．|PQ|≤|PC2|+1＝
，
当
时，|PQ|max＝
．…………………………（10分）
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）＝|3x+2|． （Ⅰ）求f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥a|x|恒成立，求实数a的最大值． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，求出不等式的解集即可； （Ⅱ）问题转化为可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）≤1得|3x+2|≤1， 所以﹣1≤3x+2≤1，解得所以，f（x）≤1的解集为
2
2
2
，根据基本不等式的性质求出a的最大值即
，
．…………………………（5分）
（Ⅱ）f（x）≥a|x|恒成立，即3x+2≥a|x|恒成立． 当x＝0时，a∈R； 当x≠0时，因为所以
（当且仅当
，即a的最大值是
．
，即
时等号成立），
．…………………………（10分）
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．