发布时间 : 星期二 文章2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)更新完毕开始阅读
用向量法能求出直线AE与平面BEG所成角的正弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF．
由ABC﹣EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BC∥FG． ∵CB＝2GF，∴
，
∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF． ∵BF＝CF，D为BC的中点， ∴DF⊥BC，∴CG⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG?平面BCGF， ∴CG⊥平面ABC，而AB?平面ABC， ∴CG⊥AB．
解：（Ⅱ）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC． 由（Ⅰ）知，CG⊥平面ABC，CG∥DF， ∴DF⊥AD，DF⊥BC， ∴DB，DF，DA两两垂直．
以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz． 设BC＝2，则A（0）， ∴
设平面BEG的一个法向量为
，
．
，
．
），E（
），B（1，0，0），G（﹣1，
，
由可得，．
令，则y＝2，z＝﹣1，∴．
设AE与平面BEG所成角为θ， 则
直
线
AE与平面BEG所成角的正弦值为
．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；
方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．
某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 台数
0 5
1 10
2 20
3 15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此
能求出X的分布列．
（Ⅱ）选择延保方案一，求出所需费用Y1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y2元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算． 【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6．
， ，
，
， ，
， ，
∴X的分布列为
X P
0
1
2
3
4
5
6
（Ⅱ）选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为：
Y1 P
7000
9000
11000
13000
15000
（元）．
选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为：
Y2 P
10000
11000
12000
（元）．
∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）已知抛物线C：x＝2py（p＞0）上一点M（m，9）到其焦点F的距离为10． （Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|?|BQ|的取值范围． 【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）可得抛物线的准线为方程．
，∴
，解得，p＝2，即可得抛物线的
2
（Ⅱ）设l：y＝kx+1．设A（），B（x2，），可得
．
，即可得|AP|?|BQ|的取值范围．
．同理可得，
【解答】解：（Ⅰ）已知M（m，9）到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10． ∵抛物线的准线为
，∴
2
，
解得，p＝2，∴抛物线的方程为x＝4y．…………………………（5分）
（Ⅱ）由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F（0，1），则l：y＝kx+1． 设A（
），B（x2，
），由
消去y得，x﹣4kx﹣4＝0，
2
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4． 由于抛物线C也是函数
的图象，且，则．