发布时间 : 星期四 文章福建省漳州市龙海市程溪中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析更新完毕开始阅读
17．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+3）在（0，+∞）上单调递减，q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假． 【专题】简易逻辑．
【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，根据p，q一真一假，得到不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得 命题P真时0＜a＜1，
命题q真时由（2a﹣3）2﹣4＞0解得a＞或a＜， 由p∨q真，p∧q 假，得，p，q一真一假 即：
或
，
解得≤a＜1或a＞．
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数，二次函数的性质，是一道基础题．
18．已知关x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设集合P={1，2，3}Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．
（1）列举出所有的数对（a，b）并求函数y=f（x）有零点的概率； （2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率． 【考点】函数零点的判定定理；等可能事件的概率． 【专题】计算题．
【分析】（1）依次从集合PQ中选取两个数组成数对，然后再找出满足△=b2﹣4a≥0的数对个数，再与总数对个数相比可求出答案．
≤1即可
（2）因为a＞0所以函数f（x）是开口向上的二次函数，只要数对满足对称轴
保证y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求出数对个数后再与总个数相比可得答案．
【解答】解：（1）（a，b）共有（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况
函数y=f（x）有零点，△=b2﹣4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况满足条件 所以函数y=f（x）有零点的概率为（2）函数y=f（x）的对称轴为
，（1，﹣1），
，在区间[1，+∞）上是增函数则有
（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况满足条件 所以函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为
【点评】本题主要考查概率的列举法和二次函数的单调性问题．对于概率是从高等数学下放的内容，一般考查的不会太难但是每年必考的内容要引起重视．
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1， （1）求证：直线BC1∥平面D1AC； （2）求直线BC1到平面D1AC的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． 【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）求出三棱锥D1﹣ABC的体积V，再△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积，从而求出线BC1到平面D1AC的距离即可．
【解答】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB=C1D1，
故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上， 故 直线BC1平行于平面DA1C；
（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h） 以△ABC为底面的三棱锥D1﹣ABC的体积V，可得
而△AD1C中，
，故
，
所以以△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积即直线BC1到平面D1AC的距离为．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理，考查线面的距离以及数形结合思想，是一道中档题．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）． （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于
？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质． 【专题】计算题．
【分析】（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．
【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px， 得4=2p，p=2
∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1
（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t， 由
得y2+2y﹣2t=0，
=
，求得t=±1
∵直线l与抛物线有公共点， ∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣ 又∵直线OA与L的距离d=∵t≥﹣ ∴t=1
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0
【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．
21．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角． 【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，则EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．