发布时间 : 星期一 文章2020高考数学一轮复习讲义《专题21 抛物线专项》(解析版)更新完毕开始阅读
【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.
223．（2020·湖南明达中学高三）已知点E是抛物线C:y?2px(p?0)的对称轴与准线的交点，点F为抛
物线C的焦点，点P在抛物线C上.在?EFP中，若sin?EFP???sin?FEP，则?的最大值为（ ）
A．【答案】C 【解析】
【分析】利用抛物线的几何性质，求得E,F的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为??2 2B．3 2C．2 D．3
1的形式.根据余弦函数的单调性可以求得?的最大值.
cos?PEF【详解】由题意得，准线l:x??p?p??p?FE?,0，??，?,0?，过P作PH?l，垂足为H，则由抛物线
2?2??2?定义可知PH?PF，于是??sin?EFPPEPE11????，Qy?cosx在?0,??sin?FEPPFPHcos?EPHcos?PEF上为减函数，?当?PEF取到最大值时（此时直线PE与抛物线相切），计算可得直线PE的斜率为1，从
而?PEF?45?，
??max?1?2，故选C. 22
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【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.
2224．（2020·宁夏大学附属中学高三月考（文））已知圆O:x?y?1，直线l:x?2y?5?0上动点P，过
点P作圆O的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．
1 2B．1 C．
3 2D．2
【答案】D 【解析】
【分析】根据题意作出图形，利用数形结合思想可得，当OP最小时，PA有最小值，通过几何分析可知，当OP?l时，OP有最小值，代入点到直线的距离公式求出圆心O到直线l:x?2y?5?0的距离即为
OP的最小值，利用勾股定理即可求出PA的最小值.
【详解】根据题意，作图如下:
因为PA为圆O的切线，所以PA?AO，在?PAO中，由勾股定理可得，
PA?PO?OA?22PO?1，
2所以当OP最小时，PA有最小值，结合图形可知，当OP?l时，OP有最小值，由点到直线的距离公
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式可得，
圆心O到直线l:x?2y?5?0的距离为d?值为2.故选D
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和切线长公式的应用；利用数形结合思想、转化与化归的思想以及点到直线的距离公式是求解本题的关键；属于中档题.
2225．（2020·南昌市新建区第二中学高三）已知圆C：x?y?8y?14?0，直线l：mx?y?3m?1?0与
51???2?22?5，即OP的最小值为5，此时PA有最小
x轴，y轴分别交于A，B两点.设圆C上任意一点P到直线的距离l为d，若d取最大值时，?PAB的面
积（ ）
A．32 【答案】B 【解析】
【分析】直线l：mx?y?3m?1?0过定点M?3,1?，当MC?l时，圆心C到直线l的距离最大，求出最大距离d以及AB，进而可得?PAB的面积.
【详解】直线l：mx?y?3m?1?0过定点M?3,1?，圆C：x?y?8y?14?0的圆心C22B．8 C．6
D．42
?0,4?，半径
当MC?l时，圆心C到直线l的距离最大，∵kMC??1，∴kl=1，即直线l方程为x?y?2?0， r?2，则A?2,0?，B?0,?2?，AB?22，C到直线l的距离为?4?22?32，则P到直线l的最大距离
d?32?r?42，此时?PAB的面积S?1?22?42?8，故选B. 2【点睛】本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当MC?l时，圆心C到直线l的距离最大是关键，是中档题.
226．（2020·湖南长沙一中高三月考）已知F为抛物线C:y?4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，
l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于P，Q两点，则|AB|?|PQ|的最小值为（ ）
A．16 【答案】A 【解析】
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B．12 C．20 D．10
【分析】设l1的方程为x?my?1，A?x1,y1?，B?x2,y2?，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是
y1?y2,y1y2，由弦长公式求得弦长AB，由垂直得l2方程，同理可得PQ，求出AB?PQ，应用基本
不等式可得最小值．
2【详解】设l1的方程为x?my?1，A?x1,y1?，B?x2,y2?，代入得y?4my?4?0，故 y1?y2?4m，
?1?y1y2??4．则|AB|?m2?116m2?16?4?m2?1?，同理|PQ|?4?2?1?，
?m?1??|AB|?|PQ|?4?2?m2?2?…16，当且仅当m??1时取“?”，故选A．
m??【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，采取设而不求思想求弦长．
2227．（2020·湖南长郡中学高三月考）已知A，B是圆C:x?y?8x?2y?16?0上两点，点P在抛物线
x2?2y上，当?APB取得最大值时，|AB|?（ ）
A．【答案】A 【解析】
【分析】求出圆C的圆心与半径，可得当PA，PB是圆C的切线时，?APB取得最大值，即A，B是圆
45 5B．35 5C．25 5D．5 5C的切点，利用距离公式及函数的导数求解最值，然后转化求解即可.
【详解】依题意可得，当PA，PB是圆C的切线时，?APB取得最大值，即A，B是圆C的切点，设
2??x022Px?，?APB?2??0?.∵圆C:x?y?8x?2y?16?0，∴圆心C(4,1)，半径为1，从而
2??sin??1， PC2224?x0?x0x43?1???8x0?17，∵PC??x0?4???令f(x)?则f?(x)?x?8.∴当x?2时，?8x?17，
44?2?2f?(x)?0，即函数f(x)在(??,2)上为减函数；当x?2时，f?(x)?0，即函数f(x)在(2,??)上为增函
数.∴f(x)min ?f(2)?5，即PCmin?5.∴(sin?)max?5，此时?APB最大. 5
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