发布时间 : 星期三 文章2020高考数学一轮复习讲义《专题21 抛物线专项》(解析版)更新完毕开始阅读
代入x1?x2?2k,x1x2??1，得：k2?2k?1?0 ，解得：k?1.故选:D.
【点睛】本题考查抛物线与直线的综合运用，涉及抛物线的焦点坐标，点斜式方程，联立方程组，向量垂直，结合韦达定理化简运算.
9. （2020·内蒙古高三期末（理））设抛物线C:x2?py(p?0)焦点为F,点M在C上,且MF?3,若以MF为直径的圆过点
?2,0,则C的方程为( )
B．x2?2y或x2?4y D．x2?2y或x2?16y
?A．x2?4y或x2?8y C．x2?4y或x2?16y 【答案】A 【解析】
【分析】根据抛物线C:x2?py(p?0),可得其焦点坐标为:?0,准线的距离为:
??p?p,,设M?x,y?,故M点到y??准线为?4?4pp+y,根据抛物线定义可得:MF?+y,画出图形,结合已知,即可求得答案.
44【详解】设以MF为直径的圆的圆心为N，画出几何图形:Q 抛物线C:x2?py(p?0)，其焦点坐标为:
pp?p??0,?,准线为y??，设M?x,y?,故M点到准线的距离为:?y
44?4?ppp+y，? y?MF??3? 444p???y?x2?根据中点坐标公式可得:M,F的中点N为:?,?
2??2??xQ以MF为直径的圆过点2,0,根据几何关系可得:?2，? x?22 2根据抛物线定义可得:MF???p??? M?22,3?? 代入x2?py，可得224????2p???p?3??,即:p2?12p?32?0 解得p?4或p?8
4???C的方程为:x2?4y或x2?8y，故选:A.
【点睛】本题考查了求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线的定义和根据题意画出几何图形,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
10．（2020·湖北高三月考（文））已知直线l与抛物线y?6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜
5
2率分别为k1，k2，且k1?k2?3，则直线l恒过定点（ ）
A．(?63,0) B．(?33,0) 【答案】C 【解析】
2【分析】设直线l为x?my?n,与抛物线方程联立可得y?6my?6n?0,即y1y2??6n,利用斜率公式代
C．(?23,0) D．(?3,0)
入k1?k2?3中即可求得n,进而得出结论
?x?my?nx?my?n,联立?2,消去x可得y2?6my?6n?0,设A?x1,y1?,B?x2,y2?,【详解】设直线l为
?y?6xy1y23636y1y2???3?3,所以y2y2yy,所以n??23, 所以y1y2??6n,因为k1?k2?3,即??6n112x1x2?266所以x?my?23,所以直线l一定过点?23,0,故选:C
【点睛】本题考查直线恒过定点问题,考查直线与抛物线的位置关系的应用
11. （2020·福建高三期末（理））已知过抛物线y?4x的焦点F的直线交抛物线于A?x1,y1?，B?x2,y2?2??两点，则AF?4BF的最小值为（ ）
A．4 【答案】C 【解析】
【分析】当直线AB的斜率不存在时，可得x?1，从而可得x1?x2?1，利用焦点弦公式求出AF?4BF；当直线AB的斜率存在时，设出直线AB方程：y?k?x?1?，将直线方程与抛物线方程联立，可得x1x2?1，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知AF?4BF?x1?B．8
C．9
D．12
pp???4?x2???x1?4x2?5，当直线AB的斜率不存在时，可得22??x?1，所以x1?x2?1，即AF?4BF?10；当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则直线AB方程：?y?k?x?1?222y?k?x?1?，则?2，整理可得kx??2k?4?x?k?0，所以x1x2?1，所以
?y?4x
6
AF?4BF?x1?4x2?5?1?4x2?5?24?5?9，当且仅当x2?1,x1?2时，取等号， x22故AF?4BF的最小值为9.故选：C
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式以及基本不等式求最值，属于基础题.
12. （2020·河南高三期末（理））已知抛物线C:x?2py?p?0?的焦点F到准线l的距离为2，直线l1、
2uuuvuuuvl2与抛物线C分别交于M、N和M、P两点，其中直线l2过点F，MR?RN，R?xR,yR?.若
yR?MN?p，则当?MFN取到最大值时，MP?（ ） 2B．16
C．18
D．20
A．14 【答案】B 【解析】
【分析】先求出p的值，得出抛物线C的方程为x?4y，设M?x1,y1?，N?x2,y2?，P?x3,y3?，由抛
2物线的定义以及中点坐标公式得出MF?NF?2MN，然后在?MNF中利用余弦定理可求出
cos?MFN的最小值，由等号成立的条件可知?MNF为等边三角形，可设直线l2的方程为y?3x?1，将
该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出MP.
【详解】依题意，可知p?2，设M?x1,y1?，N?x2,y2?，P?x3,y3?，由抛物线定义可得
y1?y2?2?MF?NF.因为yR?MN?22y?y2p?MN?1，所以MF?NF?2MN. ，即1222由余弦定理可得cos?MFN?MF?NF?MN?2MF?NF3MF?NF8MF?NF?22??1?6MF?NF?1?1，
48MF?NF42当且仅当MF?NF时等号成立，故?MFN的最大值为
?，此时?MFN为等边三角形，不妨直线MP的32??x?4y方程为y?3x?1，联立?，消去y得x2?43x?4?0，故x1?x3?43，??y?3x?1y1?y3?3?x1?x3??2?14，故MP?16.故选：B.
【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.
213. （2020·上海高三）若抛物线y?mx的焦点坐标为(,0)，则实数m的值为________.
12
7
【答案】2 【解析】
【分析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m的值．
m1?m?【详解】由抛物线方程得：焦点坐标?,0?，??，?m?2，故答案为：2．
?4?42【点睛】本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题．
14.（2020·吉林高三期末（理））抛物线y?6x上一点M?x1,y1?到其焦点的距离为
29，则点M到坐标2原点的距离为______. 【答案】33 【解析】
【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M到坐标原点的距离即可. 【详解】由题意知，焦点坐标为?得x1?3?3?,0?，准线方程为x??，由M?x1,y1?到焦点距离等于到准线距离，
2?2?39?，则x1?3，?y12?18，可得OM?x12?y12?33，故答案为33． 22【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．
215. （2020·湖南高三月考（文））过抛物线C:y=x上的一点M(非顶点)作C的切线与x轴?y轴分别交于
A?B两点，则
MA
?______. MB
【答案】【解析】
1 2【分析】利用导数求出切线方程，分别得到两点的坐标，即可得到结果.
2【详解】由y=x，则y??2x.设点Mx0,x0?2??x0?0?,则曲线C在M处的切线的斜率为k?2x0.
?x0?，0?,B?0,?x02? ?2?22所以曲线C在M处的切线方程为：y?x0?2x0(x?x0).即y?2x0x?x0.所以A?MA11?.故答案为： 由M,A,B三点的坐标可得，A点为BM的中点.所以
MB22【点睛】本题考查利用导数求切线方程和根据点的坐标求线段的长度之比，属于中档题.
8