发布时间 : 星期六 文章2020年高考数学压轴必刷专题04三角函数与解三角形(文理合卷)更新完毕开始阅读
17．【2015年上海理科13】已知函数f（x）＝sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|（fx1）﹣（fx2）|+|（fx2）﹣（fx3）|+…+|（fxm﹣1）﹣（fxm）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为 ． 【解答】解：∵y＝sinx对任意xi，xj（i，j＝1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）
min＝2，
要使m取得最小值，尽可能多让xi（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝12， 按下图取值即可满足条件，
∴m的最小值为8． 故答案为：8．
18．【2014年江苏14】若△ABC的内角满足sinA【解答】解：由正弦定理得a由余弦定理得cosC
，
当且仅当故
时，取等号，
cosC＜1，故cosC的最小值是
．
b＝2c，得c
sinB＝2sinC，则cosC的最小值是 ． （a
b），
故答案为：．
19．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ． 【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC ?（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c ?2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc， 又因为：a＝2， 所以：△ABC面积而b2+c2﹣a2＝bc ?b2+c2﹣bc＝a2 ?b2+c2﹣bc＝4 ?bc≤4 所以：故答案为：
．
cosx＝a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则
，即△ABC面积的最大值为
．
，
，
20．【2014年上海理科12】设常数a使方程sinxx1+x2+x3＝ ． 【解答】解：sinx
cosx＝2（sinx
cosx）＝2sin（x）＝a，
时，直线与三角函数图象恰有三
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a个交点， 令sin（x
）
，x
2kπ
，即x＝2kπ，或x
2kπ
，即x＝2kπ，
∴此时x1＝0，x2，x3＝2π，
∴x1+x2+x3＝02π．
故答案为：
21．【2014年北京理科14】设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（
）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为 ．
【解答】解：由f（）＝f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x，
则x离最近对称轴距离为．
又f（）＝﹣f（），则f（x）有对称中心（，0）， 由于f（x）在区间[，]上具有单调性，
则
故答案为：π．
T?T，从而?T＝π．
22．【2013年浙江理科16】△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若【解答】解：如图
设AC＝b，AB＝c，CM＝MB在△ABM中，由正弦定理可得代入数据可得
，解得sin∠AMB
，
，∠MAC＝β，
，
，则sin∠BAC＝ ．
故cosβ＝cos（∠AMC）＝sin∠AMC＝sin（π﹣∠AMB）＝sin∠AMB，
而在RT△ACM中，cosβ，
故可得
，化简可得a4﹣4a2b2+4b4＝（a2﹣2b2）2＝0，
解之可得a
b，再由勾股定理可得a2+b2＝c2，联立可得c
，
，
故在RT△ABC中，sin∠BAC
另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα＝AM：sin∠B BM：sinβ＝AM
又有sinβ＝cos∠AMC＝cos（α+∠B），
联立消去BM，AM得sin∠Bcos（α+∠B）＝sinα， 拆开，将1化成sin2∠B+cos2∠B， 构造二次齐次式，同除cos2∠B， 可得tanα
，
若，则cos∠BAM，
tan∠BAM解得tan∠B易得sin∠BAC
， ，cosB．
，DB＝x，BM＝CM
，
另解：作MD⊥AB交于D，设MD＝1，AM＝3，AD＝2用△DMB和△CAB相似解得x则cosB
，
．
，
易得sin∠BAC故答案为：