发布时间 : 星期四 文章标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-1：第二章 2. 3 双曲线更新完毕开始阅读
双曲线
2．3．1 双曲线及其标准方程
预习课本P52～55，思考并完成以下问题
1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？
2．什么是双曲线的标准方程？
[新知初探]
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
[点睛] 平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF1|－|MF2||＝2a，关键词“平面内”．
当2a<|F1F2|时，轨迹是双曲线；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线； 当2a>|F1F2|时，轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程
标准方程 焦点坐标 焦点在x轴上 x2y2－＝1 a2b2(a>0，b>0) F1(－c,0)，F2(c,0) 焦点在y轴上 y2x2－＝1 a2b2(a>0，b>0) F1(0，－c)，
F2(0，c) a，b，c的关系
[点睛] (1)标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．
(2)a，b，c三个量的关系：
标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a，b大小不确定．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线( )
x2y2
(2)在双曲线标准方程2－2＝1中，a>0，b>0且a≠b( )
ab(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( ) A．双曲线 C．不存在 答案：B
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________． x2y2y2x2
答案：－＝1或－＝1
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双曲线标准方程的认识 x2y2[典例] 已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
k－5|k|－2A．k>5 C．k>2或k<－2
B．k>5或－2 c2＝a2＋b2 [解析] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0． ???k－5>0，?k－5<0，?即或? ?|k|－2>0，???|k|－2<0. 解得k>5或－2 x2y2 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时， mn ???m>0，?m<0， 方程表示双曲线．若?则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若?则方程表示 ???n<0，?n>0， 焦点在y轴上的双曲线． [活学活用] 若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( ) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线 y2x2 解析：选C 原方程化为2－＝1， k－1k＋1∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0． ∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线． 求双曲线的标准方程 [典例] 求适合下列条件的双曲线的标准方程． 410??(1)a＝4，经过点A1，－； 3??(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x轴上时， x2y2 设所求标准方程为－2＝1(b>0)， 16b 16160 把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意； 159当焦点在y轴上时， y2x2 设所求标准方程为－2＝1(b>0)， 16b把A点的坐标代入，得b2＝9， y2x2 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1． 169 (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ??9m＋0＝1，∴?解得?36m＋9n＝1，? ? ?1?n＝－3， 1m＝， 9 x2y2 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1． 93 1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． x2y2y2x2 (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程2－2＝1或2－2＝1(a，b均为正数)，然后 abab根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用] 根据下列条件，求双曲线的标准方程． x2y2 (1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(15，4)； 2736(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． x2y2 解：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)， 2736y2x2 F2(0,3)，故可设双曲线的方程为2－2＝1． aba＋b＝9，??a2＝4，?? 由题意，知?42?15?2解得?2 ?b＝5.???a2－b2＝1， 2 2 y2x2 故双曲线的方程为－＝1． 45(2)∵焦点在x轴上，c＝6， x2y2 ∴设所求双曲线方程为λ－＝1(其中0<λ<6)． 6－λ∵双曲线经过点(－5,2)， 254∴λ－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． 6－λ