发布时间 : 星期四 文章高三年级一轮复习专题_数列通项公式与求和方法总结更新完毕开始阅读
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专题一：数列通项公式的求法详解（八种方法） 一、 观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）1,2,31245916,4,?（3）1,10172,31,22,?（4）512,?,2334,?,? 45nn22n; （3）an?答案：（1）an?10?1 （2）an?n?2. ; （4）an?(?1)n?1?n?1n?1n?1二、 公式法 公式法1：特殊数列
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 答案：an=a1+(n－1)d = 2(n－1)； bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
例3. 等差数列?an?是递减数列，且a2?a3?a4=48，a2?a3?a4=12，则数列的通项公式是（ ）
(A) an?2n?12 (B)
an?2n?4 (C) an??2n?12 (D) an??2n?10 (D)
例4. 已知等比数列?an?的首项a1?1，公比0?q?1，设数列?bn?的通项为bn?an?1?an?2，求数列?bn?的通项
公式.简析：由题意，bn?1?an?2?an?3，又?an?是等比数列，公比为q∴
bn?1an?2?an?3??q，故数列?bn?是等比bnan?1?an?2n?1n数列，易得bn?q(q?1)?q?q(q?1).点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公
式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知sn利用公式 an???s1,n?1.
?Sn?Sn?1,n?22例5：已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式，求{an}的通项公式.（1）Sn?n3?n?1. （2）sn?n?1
答案：（1）an=3n?3n?2，（2）an??2(n?1)?0点评：先分n=1和n?2两种情况，然后验证能否
?2n?1(n?2)学习.资料
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统一.
三、 累加法 【型如an?1?an?f(n)的地退关系递推关系】
简析：已知a1?a,an?1?an?f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得
例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：
an?n2?5(n?N)
nn例6. 若在数列?an?中，a1?3，an?1?an?2，求通项an .答案：an=2?1
例7.已知数列{an}满足a1?3，an?an?1?四、累积法 【 形如an?1=f(n)·an型】
（1）当f(n)为常数，即：
11(n?2)，求此数列的通项公式. 答案：an?2?
n(n?1)nan?1?q（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，an=a1?qn?1. an（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
例8：在数列｛an｝中，a1 =1, (n+1)·an?1=n·an，求an的表达式. 例9： 已知数列?an?中，a1?答案：an?1，前n项和Sn与an的关系是 Sn?n(2n?1)an ，试求通项公式an. . 31. 思考题1：已知an?1?nan?n?1,a1??1,求数列{an}的通项公式.分
(2n?1(2n?1)析：原式化为 an?1?1?n(an?1),若令bn?an?1,则问题进一步转化为bn?1?nbn形式，累积得解.
五、构造特殊数列法 构造1：【形如an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型】 （1）若c=1时，数列{an}为等差数列; （2）若d=0时，数
列{an}为等比数列;（3）若c?1且d?0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
方法如下：设an?1???c(an??),得an?1?can?(c?1)?,与题设an?1?can?d,比较系数得
??d,(c?0)， c?1学习.资料
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所以：an?d?ddd?为首项，以c为公比的等比数列. ?c(an?1?),即?an??构成以a1?c?1c?1c?1c?1??例10：已知数{an}的递推关系为an?1?2an?1，且a1?1求通项an. 答案：
an?2n?1
构造2：相邻项的差为特殊数列
例11：在数列?an?中，a1?1，a2?2，an?2?构造3：倒数为特殊数列【形如an?211an?1?an，求an.提示：变为an?2?an?1??(an?1?an). 333pan?1】
ran?1?san（n?N），，求数列的通项公式. 答案 an?1例12： 已知数列｛an｝中a1?1且an?1?an?11? bnn六、待定系数法： 例13：设数列{cn}的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
n?1解析：设cn?a?(n?1)d?bq 建立方程组，解得.
点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列{an}为等差数列：
2n?1则an?bn?c，sn?bn?cn（b、ｃ为常数），若数列{an}为等比数列，则an?Aq，
sn?Aqn?A(Aq?0,q?1).
七、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】
例14：（1）数列{an}满足a1?0,且a1?a2???an?1?an?2(n?1),求数列{an}的通项公式.
解析：由题得 a1?a2???an?1?an?2(n?1)?① n?2时，a1?a2???an?1?2(n?2)?②
?0,n?12 由①、②得an??.（2）数列{an}满足a1?1,且a1?a2?an?1?an?n,求数列{an}的通项公式
?2,n?2（3）已知数列{an}中，a1?2,an?1?11an?,求通项an. 22学习.资料
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八、【讨论法-了解】（1）若an?1?an?d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为 其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如an?1?an?f(n)型①若an?1?an?p(p为常数)，则数列{an}为“等 积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n的函数（非常数）时，可 通过逐差法得an?an?1?f(n?1)，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例15： 数列{an}满足a1?0,an?1?an?2,求数列{an}的通项公式. 专题二：数列求和方法详解（六种方法）
一、公式法 1、等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(a2?an?1)n(a3?an?2)n(n?1)?????na1?d 2222(q?1)?na1?n 2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?qx(1?xn)?123n [例1] 已知log3x?，求x?x?x?????x????的前n项和. 答案sn?
log231?x[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?Sn1的最大值. 答案n＝8时，f(n)max?
(n?32)Sn?150二、错位相减法 方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
23n?1[例3] 求和：Sn?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………①(x?1)
解析：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积：
234n设xSn?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x…②
234n?1n①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x?2x?2x?????2x?(2n?1)x （错位相减）再利用等比数列
(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)1?xn?1n?(2n?1)x.∴ Sn?的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?.
(1?x)21?x试一试1：求数列三、倒序相加法 学习.资料
2462nn?2,2,3,???,n,???前n项的和. 答案： Sn?4?n?1 22222