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习题四 一、选择题
1．两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为
当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二x1?Acos(?t??)。
个质点正在最大正位移处，则第二个质点的振动方程为 [ ] （A）x2?Acos(?t???11π)； （B）x2?Acos(?t???π)； 223（C）x2?Acos(?t???π)； （D）x2?Acos(?t????)。
2答案：B
解：由题意，第二个质点相位落后第一个质点相位π/2，因此，第二个质点的初相位为
??π，所以答案应选取B。
2．劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 ［ ］
（A）T?2?12mm(k1?k2)； （B）T?2? ； (k?k)2k1k212 1 （C） T?2π答案：C
m(k1?k2)2m； （D）T?2?。 k1k2k1?k2k2 m 解：两根弹簧串联，其总劲度系数k?k1k2m，根椐弹簧振子周期公式，T?2π，
kk1?k2代入k?k1k2可得答案为C。
k1?k2O 3．一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），
12构成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量J?ml，此摆作
3微小振动的周期为 ［ ］ （A）2?答案：C
解：由于是复摆，其振动的周期公式为T?
l ll2ll； （B）2?； （C）2?； （D）?。 g2g3g3g2π2J2l，所以答案为C。 ?2πmgl3g?1
?2π第2页共6页 4 机械振动习题详解 习题册-上-4
4．一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［ ］ (A) 1A，且向x轴的正方向2????x (B) o 1A 2o 12A ??x (C) ?12A o x (D) ?12A o x ??
答案：B
解：根椐题意，此简谐振动的初相位为?
5．一物体作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t??3，或
5?，所以答案为B。 31?)．则该物体在t = 0时刻的动能2与t = T/8（T为振动周期）时刻的动能之比为［ ］
（A）1:4； （B）1:2； （C）1:1； （D）2:1。 答案：D
111π)，动能为mA2?2sin2(?t?π)。所以在t = 2221122220时刻的动能为mA?，t = T/8时的动能为mA?，因此，两时刻的动能之比为
24解：物体的速度为v??A?sin(?t?2:1，答案应选D。
二、填空题
1．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为
x (cm)105O14710-1013t (s)A = _______cm；? =__________rad/s；??=________。
答案：10；(?/6)；?/3。
解：由图可直接看出，A =10cm ，周期T=12s，所以
2?????rad/s；再由图看出，t = 0时刻质点在位移5cm
T6处，下一时刻向着平衡位置方向移动，所以其初相为 ??= ?/3。
2
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x 2．一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。当振子处在位 a 移为零、速度为??A、加速度为零和弹性力为零的状态时，A 应对应于曲线上的________点；当振子处在位移的绝对值为
2e d f t A、速度为零、加速度为??A和弹性力为?kA的状态时，应-A c 对应于曲线上的____________点。 答案：（b，f）；（ a，e）。
解：因b和f点对应着位移为零、速度为??A、加速度为零和弹性力为零的状态，a，e.点对应着位移的绝对值为A、速度为零、加速度为??2A和弹性力为?kA的状态。
3．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。其合振动的振 ·x A2 幅为__________________________；合振动的振动方程
x1(t) A1 t 为_____________________________。
O -A1 T x2(t) 答案：A2?A1；x?A2?A1cos(2?t?1?)。 -A2 O b T2
解：由图可知，两振动其初相位差为?，所以其合振动的振幅为A2?A1又由公式
tan??程为
?A1sin?1?A2sin?2?3?，而?1?, ?2?，由此得??。所以合振动的振动方
A1cos?1?A2cos?2222x?A2?A1cos(2?t?1?)
T2
4．在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m = 5g的小球，弹簧伸长?l=1cm而平衡。经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 4cm的振动，则小球的振动周期为__________；振动能量为_________________。 答案：0.201s； 3.92?10-3J。
解：平衡时，有k?l?mg，所以k?mg/?l。
（1） （2）
T?2π??2πm?l?2π?0.201s； kg
11mg2E?kA2?A= 3.92?10-3J。
22?l5．为测定某音叉C的频率，选取频率已知且与C接近的另两个音叉A和B，已知A的
频率为800 Hz，B的频率是797 Hz，进行下面试验：
第一步，使音叉A和C同时振动，测得拍频为每秒2次。 第二步，使音叉B和C同时振动，测得拍频为每秒5次。
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由此可确定音叉C的频率为______________。 答案：802 Hz
解：设音叉C的频率为?，由??800?2和??797?5，联立求得??802Hz。
三、计算题
1．在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0=1.2cm而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式。 答案：x?2?10cos(9.1?t)。
解：设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数
?2k?mg/l0
选平衡位置为原点，向下为正方向。小球在x处时，根据牛顿第二定律得
d2x mg?k(l0?x)?m2 dt将 k?mg/l0 代入整理后得 kl0 k(l0+x) l0 2dxg?x?0 x dt2l0mg 所以此振动为简谐振动，其角频率为 x mg g ???28.58?9.1π
l0设振动表达式为 x?Acos(?t??)
由题意： t?0时，x0?A?2?10?2m，v0?0，由此解得 ??0。 所以 x?2?10cos(9.1?t)
2．一质量m?0.25kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k?25N/m。 （1）求振动的周期T和角频率?；
（2）如果振幅A?15cm，t?0时物体位于x?7.5cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速v0及初相?；
（3）写出振动方程表达式。
答案：（1）T?0.63s，??10rad/s；（2）v0??1.3m/s，??π；
（3）x?15?10
?2?2131cos(10t??)。
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