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小题专题练(六) 概率、统计、复数、算法、推理与证明
(建议用时：50分钟)
2＋ai
1．若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
1＋i
A．－4 B．－3 C．3 D．4
2．某服装加工厂某月生产A、B、C三种产品共4 000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别 A B C 产品数量(件) 2 300 样本容量(件) 230 由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是( )
A．80 B．800 C．90 D．900
3．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
4．(2015·威海质量监测)若执行如图所示的程序框图，则输出的k值是( )
B．5 D．7 2＋i22
5．若i为虚数单位，已知a＋bi＝(a，b∈R)，则点P(a，b)与圆x＋y＝2的位置
1－i
关系为( )
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定
6．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下 x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 ^^
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y＝10.5x＋a，据此模型来预测当x＝20时，y的估计值为( )
A．210 B．210.5
1
A．4 C．6
C．211.5 D．212.5
7．(2015·日照模拟)某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )
A．300 B．400 C．500 D．600
8．(2015·枣庄模拟)某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应为( )
A．k>6? B．k>5? C．k>4? D．k>3? 9．以下四个命题中：
①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
2
③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ)(σ>0)，若ξ位于区域(0，1)内的概率为0.4，则ξ位于区域(0，2)内的概率为0.8；
2
④对分类变量X与Y的随机变量K的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．
其中真命题的序号为( ) A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
10．(2015·东营质量监测)在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，则方x2 y23
程2＋2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( ) ab2
115A. B. 2321731C. D. 3232
－
11．已知样本数据x1，x2，…，xn的均值x＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
12．(2015·莱芜模拟)已知a∈{－2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f(x)＝xln a＋b为增函数的概率是________．
2
?x3＋1?5813.??的展开式中x的系数是________(用数字作答)．
2x??
14．为了解某班学生喜爱打乒乓球是否与性别有关，对该班40名学生进行了问卷调查，
得到了如下的2×2列联表：
喜爱打乒乓球 不喜爱打乒乓球 总计 男生 15 5 20 女生 5 15 20 总计 20 20 40 则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打乒乓球与性别有关(请用百分数表示)．
15．(2015·济南第一次质量预测)设函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1＋x2＝2a时，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研
3
究函数f(x)＝x＋sin πx＋2图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得
?19??19?到f(－1)＋f?－?＋…＋f??＋f(1)＝________． ?20??20?
小题专题练(六) 概率、统计、复数、算法、推理与证明
2＋ai
1．解析：选D.因为 ＝3＋i，所以 2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，所以 a＝4，
1＋i
故选D.
1
2．解析：选B.因为分层抽样是按比例抽取的，由表格知抽样比为，再由A产品的样
10
本容量比C产品的样本容量多10，易得C产品的样本容量为80，故C产品的数量为800.
22
3．解析：选A.3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C3×0.6×(1－0.6)，投中3次的
322
概率为P(k＝3)＝0.6，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C3×0.6×(1－0.6)＋3
0.6＝0.648.故选A.
4．解析：选A.由题知n＝3，k＝0；n＝10，k＝1；n＝5，k＝2；n＝16，k＝3；n＝8，k＝4，满足判断条件，输出的k＝4.
2
2＋i2＋3i＋i13
5．解析：选A.因为a＋bi＝＝＝＋i(a，b∈R)，
1－i222
1a＝，21?2?3?25?所以因为??＋??＝＞2，
?2??2?23
b＝，2?13?22
所以点P?，?在圆x＋y＝2外．
?22?
－－^^
6．解析：选C.由数据中可知x＝5，y＝54，代入回归直线方程得a＝1.5，所以y＝10.5x^
＋1.5，当x＝20时，y＝10.5×20＋1.5＝211.5.
7．解析：选D.依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600.
8．解析：选C.依次执行程序框图中的语句，S＝1，k＝1；k＝2，S＝4；k＝3，S＝11；
?????
3
k＝4，S＝26；k＝5，S＝57，从而可知当k＝5时循环结束，所以判断框中应填入“k>4？”．
9．解析：选D.①应为系统(等距)抽样；②线性相关系数r的绝对值越接近于1，两变
2
量间线性关系越密切；③变量ξ～N(1，σ)，P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝0.8；④随机变量K2的观测值k越大，判断“X与Y有关系”的把握越大．故选D.
10．解析：选B.
在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，对应坐标平面内一个点P(a，b)，则所有可能的结果对应的平面区域为如图所示的矩形区域ABCD，且结果落在区域内任何一
x2y23
点处的可能性是相等的．记事件M为“方程2＋2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的
ab2
椭圆”．
22
3c3a－b31b由e＜得：＜?＜?＜＜1，
2a2a242a所以事件M所包含的全部基本事件组成图中的阴影部分．由几何概型的概率计算公式
14－
415S五边形EFGCH得：P(M)＝＝＝，故选B.
S矩形ABCD832
x1＋x2＋…＋xn－－
11．解析：由条件知x＝＝5，则所求均值x0＝
n2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋12（x1＋x2＋…＋xn）＋n－
＝＝2x＋1＝2×5＋1＝11.
nn答案：11
12．解析：因为f(x)＝xln a＋b为增函数，所以ln a>0，又a∈{－2，0，1，3，4}，
2
所以a∈{3，4}，又b∈{1，2}，所以函数f(x)为增函数的概率是. 5
2答案： 5
30－7rr?1?rr?1?rr15－3r?1?rr35－r13．解析：因为 Tr＋1＝C5·(x)·??＝C5·x·?2?·x－2＝?2?·C5·x2
?????2x?
(r＝0，1，2，3，4，5)，
1?22530－7r?由＝8，得r＝2，所以 ??·C5＝.
22?2?5答案： 2
n（ad－bc）22
14．解析：K＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
40×（15×15－5×5）＝＝10>7.879，
20×20×20×20
所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打乒乓球与性别有关． 答案：0.5%
33
15．解析：依题意，函数y＝x与y＝sin πx均是奇函数，因此y＝x＋sin πx是奇
3
函数，其图象关于点(0，0)对称，函数f(x)＝x＋sin πx＋2的图象关于点(0，2)对称，
?19??19?于是有f(－x)＋f(x)＝4，因此f(－1)＋f(1)＝4，f?－?＋f??＝4，…，f(0)＝2，所?20??20?
求的和为2＋20×4＝82.
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