发布时间 : 星期日 文章2020届宁夏六盘山高级中学高三上学期期中(A卷)数学(理)试题(解析版)更新完毕开始阅读
19．已知函数f?x??ax?lnx?a?R?．
2，f?1?处的切线方程为y?x?b?b?R?，求实数（1）若函数y?f?x?图像上点1??a,b的值；
（2）若
在x?2处取得极值，求函数f?x?在区间?,e?上的最大值．
?e??1?【答案】（1）a?1,b?0；（2）
1?1． 28e【解析】试题分析：（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）先求出参数的值,再借助导数求最大值. 试题解析：（1）因为
的定义域为
，函数y?f?x?图像上
，f?1?处的切线方程为y?x?b?b?R?，所以：f??1??2a?1=1，a?1， 点12当a?1时，f?x??x?lnx，f?1??1，又点?1,1?在直线y?x?b上，所以b?0
??所以：a?1,b?0 （2）因为
的定义域为
．因为
在
处取得极小值，
所以，即．当
x1x2?4时，f??x????，
4x4x?1?x?,2?时，当??e?又f???，当x?2,e时，f??x??0 ???1??e?112?1?fe?e?1 ??8e281?1?fx所以：函数??在区间?,e?上的最大值为2?1．
8e?e?【考点】导数在研究函数的单调性及最值中的运用．
【易错点晴】本题考查的是导数的几何意义和导数在研究函数的单调性和最值中的应用.对于导数的几何意义的问题求解时一定要搞清导函数在切点处的导函数值就是切线的斜率这一几何意义,当然也还要借助切点既在在切线上也在曲线上这一事实.关于函数在闭区间上的最值问题,一定要先求出函数在这个区间上的极值,再求出其最大最小值. 20．?ABC中，角A，B,C的对边分别是a,b,c且满足(2a?c)cosB?bcosC （1）求角B的大小；
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（2）若?ABC的面积为为【答案】(1)B?33且b?3，求a?c的值； 4π. ⑵a＋c＝23． 3【解析】试题分析：（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A， ∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，
将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC， ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA， 在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0， ∴cosB=
1π，又0＜B＜π，则B?； 23（2）∵△ABC的面积为?333，sinB=sin=，
324∴S=
1333acsinB=ac=， 244∴ac=3，又b=3，cosB=cos
?1=， 32∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-9=3， ∴（a+c）2=12， 则a+c=23．
【考点】考查主要考查正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值．
点评：中档题，本题综合考查了正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值．其中（2）将sinB及已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB，再利用完全平方公式整理后，按整体思想求出a+c的值．
ex21．已知函数f?x???a?x?lnx?,e为自然对数的底数.
x(1)当a?0时,试求f?x?的单调区间; (2)若函数f?x?在x???1?,2?上有三个不同的极值点,求实数a的取值范围. ?2?【答案】（1）单调增区间为?1,???,单调减区间为?0,1?；（2）?2e,?e
【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的
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??有关知识进行分析探求. 试题解析：
（1）函数的定义域为
x??0,???,f'?x??当a?0时，对于
ex?x?1?x2xex?ax?x?1??1?e?x?1??ax?x?1?.?a?1????22xx?x????x??0,???,ex?ax?0恒成立，所以，若x?1,f'?x??0，若0?x?1,f'?x??0，
所以f?x?的单调增区间为1,+?()，单调减区间为(0,1).
?1???（2）由条件可知f'?x??0，在x??,2?上有三个不同的根，即ex?ax?0在
2x?1?ex??,2?上有两个不同的根，且a??e，令g?x??a??，则?2?xg'?x???ex?x?1?x，当x???1?,1?单调递增，x??1,2?单调递减，?g?x?的最大值?2?为g?1???e,g?12?1???2e,g2??e，而???22???1?1?2e???e2??e2?2e?0,??2e?a??e.
?2?2【考点】导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是
ex以函数解析式f?x???a?x?lnx?为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识
x与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第
ex一问是求函数f?x???a?x?lnx?的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围
x及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数
exg?x??a??,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出
x,使得问题获解.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
点P是曲线C1：(x?2)?y?4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为
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极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90o得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程； （2）射线???3，（??0）与曲线C1，C2分别交于A,B两点，设定点M(2,0)，求
?MAB的面积.
【答案】（Ⅰ）??4cos?,??4sin?;（Ⅱ）3?3．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线C2的极坐标方程为??4sin?． （Ⅱ）M到射线???3的距离为d?2sin?3?3，结合AB??B??A可求得S
试题解析：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为??4cos?． 设Q??,??，则P??,??????2??，则有??4cos?????????4sin?． 2?所以，曲线C2的极坐标方程为??4sin?． （Ⅱ）M到射线???3的距离为d?2sin?3?3，
????AB??B??A?4?sin?cos??233??则S??3?1，
?1AB?d?3?3． 223．已知函数f(x)?|x?1|?|x?1|.
（1）若?x0?R，使得不等式f?x0??m成立，求实数m的最小值M； （2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a?b?M，求【答案】（1）2；（2）2.
【解析】（1）?x0?R，使得不等式f?x0??m成立，转化为求解f(x)的最小值，可得M;
（2）由题意可得3a?b?2，运用基本不等式可求【详解】
（1）由题意，f(x)?|x?1|?|x?1|??x?1???x?1??2，当且仅当x?[?1,1]时，
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11?的最小值. 2aa?b11?的最小值. 2aa?b