发布时间 : 星期六 文章江苏省常州市2018年中考数学试题含答案解析(word版)更新完毕开始阅读
理由:设PP′交GN于K. ∵∠G=60°,∠GMN=90°, ∴∠N=30°, ∵PK⊥KN, ∴PK=KP′=PN, ∴PP′=PN=PM, ∴∠P′=∠PMP′,
∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°, ∴∠PMP′=30°,
∴∠N=∠QMN=30°,∠G=∠GMQ=60°, ∴QM=QN,QM=QG, ∴QG=QN,
∴Q是GN的中点.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
28.(10.00分)如图,二次函数y=﹣
+bx+2的图象与x轴交于点A、B,与y
轴交于点C,点A的坐标为(﹣4,0),P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合).
(1)b= ﹣ ,点B的坐标是 (,0) ;
(2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PM:MB=1:2?若存在求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC、BC,判断∠CAB和∠CBA的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)由点A的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出b的值,代入y=0求出x值,进而可得出点B的坐标;
(2)代入x=0求出y值,进而可得出点C的坐标,由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式,假设存在,设点M的坐标为(m,m+2),分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况考虑,由点B、M的坐标结合PM:MB=1:2即可得出点P的坐标,再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论;
(3)作∠CBA的角平分线,交y轴于点E,过点E作EF⊥BC于点F,设OE=n,则CE=2﹣n,EF=n,利用面积法可求出n值,进而可得出
==
,结合∠
AOC=90°=∠BOE可证出△AOC∽△BOE,根据相似三角形的性质可得出∠CAO=∠EBO,再根据角平分线的性质可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB,此题得解. 【解答】解:(1)∵点A(﹣4,0)在二次函数y=﹣∴﹣
﹣4b+2=0,
+bx+2的图象上,
∴b=﹣.
当y=0时,有﹣x2﹣x+2=0, 解得:x1=﹣4,x2=, ∴点B的坐标为(,0). 故答案为:﹣;(,0).
(2)当x=0时,y=﹣x2﹣x+2=2, ∴点C的坐标为(0,2).
设直线AC的解析式为y=kx+c(k≠0),
将A(﹣4,0)、C(0,2)代入y=kx+c中, 得:
,解得:
,
∴直线AC的解析式为y=x+2.
假设存在,设点M的坐标为(m,m+2).
①当点P、B在直线AC的异侧时,点P的坐标为(m﹣,m+3), ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上,
∴m+3=﹣×(m﹣)2﹣×(m﹣)+2, 整理,得:12m2+20m+9=0. ∵△=202﹣4×12×9=﹣32<0,
∴方程无解,即不存在符合题意得点P;
②当点P、B在直线AC的同侧时,点P的坐标为(m+,m+1), ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上,
∴m+1=﹣×(m+)2﹣×(m+)+2, 整理,得:4m2+44m﹣9=0, 解得:m1=﹣
,m2=
或﹣2+
,
.
或﹣2+
.
∴点P的横坐标为﹣2﹣
综上所述:存在点P,使得PM:MB=1:2,点P的横坐标为﹣2﹣(3)∠CBA=2∠CAB,理由如下:
作∠CBA的角平分线,交y轴于点E,过点E作EF⊥BC于点F,如图2所示. ∵点B(,0),点C(0,2), ∴OB=,OC=2,BC=. 设OE=n,则CE=2﹣n,EF=n,
由面积法,可知:OB?CE=BC?EF,即(2﹣n)=n,
解得:n=. ∵
==
,∠AOC=90°=∠BOE,
∴△AOC∽△BOE, ∴∠CAO=∠EBO,
∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB.
【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质,解题的关键是:(1)由点A的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征求出b的值;(2)分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点P的坐标;(3)构造相似三角形找出两角的数量关系.