发布时间 : 星期二 文章浙江高考理空间法向量更新完毕开始阅读
1.、直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)
????确定的直线AB的方向向量是AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)
z B A y
x 2、平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面n α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.
n 3.、在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?
如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零
向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句
a b 话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α.
α 注：（1）求平面的法向量的坐标的一般步骤:
第一步(设):设 n=(x,y,z). 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.
第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法 z 向量n的坐标.
A
1
CB例1、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的 1 1 中心,求面OA1D1的法向量. A A 二.立体几何问题的类型及解法
1、.判定直线、平面间的位置关系 O (1)直线与直线的位置关系 B C 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. x
B ①若a∥b,即a=λb,则a∥b.
1 ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b
CD
1 1 例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD
是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ, 求证: C C1⊥BD
B A
C
D
D1 y D A1
(2)直线与平面的位置关系 C?直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα. B1 ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α 1 A ②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α. E D 例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1
的中点 C B x ,求证:(1)A1E ⊥平面DBC1;(2)AB1 ∥ 平面DBC1 y
n 1 α n(3)平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 n 1 nβ 2 ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β 2 ②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β
例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FD
2.求空间中的角
(1)两异面直线的夹角
利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面z 直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹
AD角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.
1 1
CB 1 1 例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对 角线DB1与CM所成角的余弦值为_____. D y x C C B (2)直线与与平面所成的角
若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量,设L与α所
z C成的角θ, n与a所成的角α
??2z A1 1 则 θ= α－2 或θ= －α
例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 与侧面ABB1A1所成的角
2a，求AC1
A1 C O A x
B1 B y
（3）二面角
设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补 n1 α n2 n1 n2 β
例7 在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.
3.求解空间中的距离 (1)异面直线间的距离 n a 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影A 性质直接计算.
如图,设两条异面直线a、b的公 垂线的方向向量为n, 这时分别在
b a、b上任取A、B两点,则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线
????????nB |AB?n|d?|AB?|?,|n||n|a、b的距离. ∴
即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.
例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.
(2)点到平面的距离
A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.
????????????|AB?n||AB?n|?????????????????|AB|????|AB|?|n| = |n| |AH|?|AB|?sin??|AB|?|cos?AB,n?| =
3、（2004年第19题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在
的平面互相垂直， AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小； （Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60?
6、（2005年第18题）如图，在三棱锥P-ABC中，AB?BC， P AB?BC?kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP?底面ABC （I）求证OD//平面PAB； 1 D （II）当k?时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
2 A O C B 11、（2006年第17题）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，?BAD?90?，PA? 底面ABCD，且PA?AD?AB?2BC，M、N分别为PC、PB的中点。 （Ⅰ）求证：PB?DM； （Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角。
D
14、（2007年第19题）在如图所示的几何体中，EA?平面ABC，DB?E 平面ABC，AC?BC，且AC?BC?BD?2AE，M是AB的中点． （I）求证：CM?EM；
（II）求CM与平面CDE所成的角．
A
M
B
（第19题）
A 17、（2008年第18题）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂
直，BE//CF，?BCF=?CEF=90?,AD=3,EF=2。 （Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60?？
B
F
E （第18题）
D C
C
6、（2009年理科第20题）如图，平面PAC?平面ABC，?ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC?16，PA?PC?10． （I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；
（II）证明：在?ABO内存在一点M，使FM?平面BOE，并求点
M到OA，OB的距离．
10、（2010年理科第20题）如图， 在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，
AE?EB?AF?2'FD?4.沿直线EF将?AFE翻折成?A?EF，使平面AEF?平面BEF. （Ⅰ）3'求二面角A?FD?C的余弦值；
（Ⅱ）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形
MNCD向上翻折，使C与A'重合，求线段FM的长
15、（2011年第20题）如图，在三棱锥P?ABC中，AB?AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP⊥BC；（同文科） （Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小