2010-2011解析几何

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2010—2011学年第一学期期末考试《解析几何》试卷(A)

一 填空题(每空2分,共20分)

rr1、已知向量a,br的方向余弦分别是cos?1,cos?1,cos?1和cos?2,cos?2,cos?2,则向量a与

rb的夹角余弦=_____________________________.

rrrr?????????2、若a?b?c?0,且|a|?5,|b|?2,|c|?3,则a?b?b?c?c?a?

rra3、若,b????|a?b|?|a?b|成立的充要条件是 是非零向量,则

.

4、中心为(2,-1,3),半径为r的球面的参数方程为____________________________. 5、点(1,3,0)到平面x?2y?2z?4?0的离差是 .

6、自原点指向平面3x?2y?6z?35?0?0n的单位法向量= .

7、直线

x?2y?3z?1??与三坐标轴的方向角分别为__________________. 1?12x?x0y?y0z?z0??(i?1,2)确定的平面方程为______________. XiYiZi8、两相交直线

9、二次曲线至多有________个渐近方向. 10、已知二次曲线x心曲线.

二 单项选择题(每题2分,共10分)

2?4xy?ay2?5x?by?3?0,由a,b的值判定,当__________时曲线为中

1、 已知AB?c,AC?b且点D分有向线段BC为m:n,则AD?( )

A.

mc?nbmb?ncm(b?c)n(b?c) B. C. D.

m?nm?nm?nm?n22、在空间直角坐标系下,方程x?y2?2xy表示( )

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A.圆 B. 双曲线 C. 两个不同的平面 D. 两个重合的平面 3、已知平面?么( )

A.点A、C在平面的同侧,D、E在另一侧且B在平面上; B.点A、C、D在平面的同侧,B、E在另一侧; C.点A、C在平面的同侧,B、D、E在另一侧; D.以上答案都不对.

:4x?5y?2z?8及点A(1,1,1),B(1,0,2),C(0,0,3),D(1,?2,2)和E(2,0,1),那

?x2?y2?z2?164、以圆?为准线的圆柱面的母线平行于直线( )

?x?y?z?1xyzxyz??; B.??; 1011?11xyzxyzC.??; D.??.

?1100?11?x?a(u?v)?5、曲面的参数方程为?y?b(u?v)(u,v为参数),则曲面是 .

?z?uv?A.

A. 单叶双曲面 B. 双叶双曲面 C. 椭圆抛物面 D. 双曲抛物面 三 计算题(每题10分,共40分)

rrrururrura?{1,0,0},b?{0,1,?2},c={2,?2,1},求一单位向量m,使得m?c,且m与

1、已知rra,b共面.

2、设一平面与已知平面x?2y?3z?3?0平行,且与三个坐标平面围成的四面体的体积为6,试求该平面的方程. 3、求直线方程L1?x?3?2y 与L2:??z?1?x?1?z的公垂线方程. :??y?24、已知圆柱面的准线是过点求该圆柱面的方程. 四 综合题(15分)

A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的圆,母线垂直于这三点所在的平面,

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x2z22?y??1,验证点M(2,1,3)在曲面上,并求经过它的两条直母线。 已知单叶双曲面49五 证明题(第一题7分,第二题8分,共15分)

1、设点O是不共线三点

A,B,C所确定的平面外一点,证明四点A,B,C,D共面的充要条件是

OD??OA??OB??OC(其中??????1).

x2y2z22、由椭球面2?2?2?1的中心(即原点),引三条两两相互垂直的射线,分别交曲面于点

abcP1,P2,P3,设OP1?r1,OP2?r2,OP3?r3,试证:

111111?????r12r22r32a2b2c2.

2010—2011学年第一学期期末考试《解析几何》试卷(B)

一 填空题(每空2分,共20分)

rrrr??????a?b?c?01、若,且|a|?5,|b|?2,|c|?3,则(a?b)?c?_________.

rr2、若a,b????是非零向量,则|a?b|?|a?b|成立的充要条件是 .

3、中心为(0,0,0),半径为r的球面的参数方程为____________________________. 4、点(1,2,-3)到平面5x?3y?z?4?0的离差是 .

5、平面

xyz???1(abc?0)与三坐标面所围成的四面体体积是______________. abc6、已知三角形三顶点为A(1,2,3),B(3,2,1),C(2,5,8)则?ABC的面积是 .

7. 如果点

P(2,?1,?1)关于平面

?的对称点为

P?(?2,3,11),那么

?的方程

是 .

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8、两平行直线

x?xiy?yiz?zi??(i?1,2)确定的平面方程为______________. XYZ9、二次曲线F(x,y)?0在正常点(x0,y0)处的切线方程为________.

?4xy?ay2?5x?by?3?0,由a,b的值判定,当__________时曲线为无

10、已知二次曲线x心曲线.

2二 单项选择题(每题2分,共10分)

1、 已知AB?c,AC?b且点D分有向线段BC为n:m,则AD?( )

A.

mc?nbmb?ncm(b?c)n(b?c) B. C. D.

m?nm?nm?nm?n22、 在平面直角坐标系下,方程x?y2?2xy表示( )

A.圆 B. 双曲线 C. 两条不同的直线 D. 两条重合的直线 3已知两相交平面:?1:3x?y?2z?3?0与?2:x?2y?z?4?0以及点M(2,?1,1)和

N(1,2,?3),则这两点在( )

A.?1与?2所成同一二面角内; B.?1与?2所成的相邻二面角内; C.?1与?2所成的对顶二面角内; D.以上答案都不对.

?(x?2)2?y2?44、将圆?绕x轴旋转产生( )

?z?0A.环面; B.环状区域; C.球面; D.仍是此圆.

x2y2z2?2?2?12222a?b?c?0,k?a,k?b,ca?kb?kc?k5、已知方程(其中)则当k满

足( )时,方程表示一双叶双曲面. A. k?c2 B. b2?k?c2

2C. a?k?b2 D. b2?k?a2或c2?k?b2

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三 计算题(每题10分,共40分)

rrrrrrrrrra与b的夹角.

1、若向量a?3b垂直向量7a?5b,向量a?4b垂直向量7a?2b,求向量

?2x?y?z?3?0?x?y?2z?3?0,且与平面x?y?z?18?0垂直的平面方程.

2、求通过直线? 3、求两直线:l1:xyzx?1y?2z?3的公垂线方程. ??,l2:??125234A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的圆,且轴线垂直

4、已知圆锥面的顶点在坐标原点O,准线是过点于这三点所在的平面,求该圆锥面的方程. 四 综合题(15分)

x2y2z2???1,验证点M(2,3,2)在曲面上,并求经过它的两条直母线。 已知单叶双曲面494五 证明题(第一题7分,第二题8分,共15分)

1、证明由平面

xyz???1与三坐标轴的交点所成的三角形的面积为: abc122bc?a2c2?b2a2 22、已知平面

?:Ax?By?Cz?D?0于M,且M1M以及不在

?上的两点

M1(x1,y1,z1)和

M2(x2,y2,z2),线段交???MM2,求证:

???Ax1?By1?Cz1?D.

Ax2?By2?Cz2?D

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