发布时间 : 星期一 文章高一数学平面向量知识点及典型例题解析更新完毕开始阅读
题型三：向量垂直、平行的判定
例3．已知向量a?(2,3)，b?(x,6)，且a//b，则x? 。 例4．已知
ra??4,3?，
rb???1,2?rrrrrrm?a??b,n?2a?b，按下列条件求实，
数?的值。
rrrrrr(3)m?n（1）m?n；（2）m//n；。
例5．已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1） 若|c|?25，且c//a，求c的坐标；
5,（2）若|b|=2且a?2b与2a?b垂直，求a与b的夹角?.
urururururrururu???????练习1 若非零向量?、?满足，证明:???
2 在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值 3．已知向量a?(1 , 1)，b?(2 , n)，若|a?b|?a?b，则n?（ ） A．?3 B．?1 C．1 D．3 4.
rrrrrrr已知a?1，b?2，且a?b与a垂直，求a与b的夹角。
5．知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量
m?(3，?1)，n?(cosA，sinA)．若m?n，且acosB?bcosA?csinC，则角A，B的大小分别为（ ） A．
ππ，63 B．
2ππ，36 C．
ππ，36 D．
ππ，33
题型四：向量的夹角例6已知向量a=(cos?,sin?),b=(cos?,sin?),
且a??b，求a?b与a?b的夹角
rrrrrrrr0练习1已知两单位向量a与b的夹角为120，若c?2a?b,d?3b?a，试求
rrc与d的夹角。
2．| a|=1，| b |=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为 （ ） A．30° B．60° C．120° D．150°
3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
5
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝，2则a与c的夹角为( )
A．30°或150° B．60°或120° C．120° D．150°
5.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点
11uuuruuur?xyAE?yAC，xy?0，则
uuuruuurD、E．若AD?xAB，
的值为（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）
11?xy1解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B．
?????4. 设向量a与b的夹角为?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，则
cos?? ．
→|2，则三角形ABC的形状一定是5．在△ABC中，(→BC＋→BA)·→AC＝|AC( )
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 .
6已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中（1）求sin?和cos?的值； （2）若
sin(???)?10?,0???102，求cos?的值．
???(0,)2．
题型五：求夹角范围
rrrrrrr2|a|?2|b|?0x?|a|x?a?b?0例7已知,且关于x的方程有实根,则a与b的
夹角的取值范围是
???2??[,?][,][,?]A.[0,6] B.3 C.33 D.6 练习1．设非零向量a=?x,2x?，b=??3x,2?，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围
2．已知a?(?,2?)，b?(3?,2),如果a与b的夹角为锐角,则?的取值范围是
??????eeee|e|?2|e|?13．设两个向量1、2，满足1，2，1、2的夹角为60°，若
????????e2te?7e2与向量1?te2 的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 向量14．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中
点，问PQ与BC
的夹角?取何值时BP?CQ的值最大？并求出这个最大值. C （以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）
a 题型六：向量的模
rrrrrra?3,a?b?13,boab120A ） 例8．已知向量与的夹角为，则等于（
A．5 B．4 C．3 D．1
练习1平面向量a与b的夹角为60，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于 （ ） A.3 B.23 C.4 D.12
???2．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均
0为120°，
??????（1）求证：(a?b)⊥c；（2）若|ka?b?c|?1(k?R)，求k的取值范围.
rrrrrrr3．平面向量a,b中，已知a?(4,?3),|b|?1，且a?b?5，则向量b?______.
a与b的夹角为600，4．已知|a|=|b|=2，则a+b在a上的投影为 。 rrrrrrrr5．设向量a,b满足|a|?|b|?1,|3a?2b|?3，则|3a?b|? 。 rrrrrr6．已知向量a,b的方向相同，且|a|?3,|b|?7，则|2a?b|?___ ___。
7、已知O，N，P在?ABC所在平面内，且
OA?OB?OC,NA?NB?NC?0，
且PA?PB?PB?PC?PC?PA，则点O，N，P依次是?ABC的 （ ) A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心