发布时间 : 星期一 文章高一数学平面向量知识点及典型例题解析更新完毕开始阅读
d为( )
A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 1→＝2→7．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且ACCB，2则实数a 等于( )
45
A．2 B．1 C. D. 53题型三: 平行、共线问题
1b?(,1?sin?)2 例4已知向量a?(1?sin?,1)，，若a∥b，则锐角?等于
（ ）
A．30? B． 45? C．60? D．75?
例5．（2009北京卷文）已知向量a?(1,0),b?(0,1),c?ka?b(k?R),d?a?b， 如果c//d那么 ( )
A．k?1且c与d同向 B．k?1且c与d反向 C．k??1且c与d同向 D．k??1且c与d反向
?? 练习：1．若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求x
2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP?OA?tAB， 求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。 (2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为( )
11
A．－1 B．－ C. D．1
22
m4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等
n于( )
11
A．－ B．2 C. D．－2
22
→＝(1，－3)，→5．已知向量OAOB＝(2，－1)，→OC＝(m＋1，m－2)，若点
A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是( )
1
A．m≠－2 B．m≠ C．m≠1 D．m≠－1
26．已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标。 题型四：平面向量综合问题 例6． 已知ΔABC的角A、B、C
ur所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)，
rurn?(sinB,sinA)，p?(b?2,a?2) .
urr（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；
?urur（2） 若m⊥p，边长c = 2，角C = 3，求ΔABC的面积 .
1→→1→→ 练习已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝AB，DA＝－BA，求点C、D33
→的坐标． 的坐标和CD第三讲 平面向量的数量积及应用一．【要点精讲】（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角；
说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。
C
（2）数量积的概念
rrrrrrrr非零向量a与b， a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a与b的数量积（或
rra?brrrrr内积）。规定0?a?0；向量的投影：︱b︱cos?=|a|∈R，称为向量b在
ra方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
rrrrrbbaaa（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的
乘积.注意：⑴只要a⊥b就有a·b=0，而不必a=0或b=0． ⑵由a·b=a·c及a≠0却不能推出b=c．得|a|·|b|cosθ1=|a|·|c|cosθ2及|a|≠0，只能得到|b|cosθ1=|c|cosθ2，即b、c在a方向上投影相等，而不能得出b=c(见图)．
⑶ (a·b)c≠a(b·c)，向量的数量积是不满足结合律的． ⑷对于向量a、b，有|a·b|≤|a|·|b|，等号当且仅当a∥b时成立．
θ1θ2bcarrr2r2a（4）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：?a?a?|a|。
②
?rra?b乘
?2r2rrr2r2rrr2?a?2a?b?b?a?2a?b?b法公式成立
?rrrrr2r2r2r2a?b?a?b?a?b?a?b???；
③向量的夹角：cos?=
rrrra?bcos?a,b??rra?b；
x1x2?y1y2=
x1?y1?x2?y22222。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
rrrrxx?y1y2a?(x,y),b?(x,y)1122，则a·b=12已知两个向量。 rrrrrr0
（6）垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b。
????两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0
222a?(x,y)|a|?x?y（7）平面内两点间的距离公式设，则或
|a|?x2?y2。 |a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面内两点间的距离公式) .
二．【典例解析】 题型一：数量积的概念
例1．判断下列各命题正确与否：
rrrrrrrrrra?0,a?b?a?c（1）0?a?0；（2）0?a?0； （3）若，则b?c；
rrrrrrrrrrrrrr（4）若a?b?a?c，则b?c当且仅当a?0时成立；（5）(a?b)?c?a?(b?c)对
rrra任意,b,c向量都成立；
题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用 例2
rrrr已知a?2，b?3，a与b的夹角为120o，求rrrrr2r2rrrr（4）a?b（）1a?b；（2）a?b；（3）（2a?b）（?a?3b）；