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余数与带余除法 （一） 知识点概述
1. 带余除法的概念和性质； 2. 中国剩余定理；
3. 带余除法和剩余类的应用．
（二） 典型例题
1．完成下列各个小题：
（1）a?24＝121??b，要使余数最大，被除数应该等于_____． （2）一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是_____． （3）393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有_____个，它们是_____． （4）31453?68765?987657的积，除以4的余数是_____．
1)2927，因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有被除数=24?121+23=2927 2) 831
这个三位数可以写成37?商+17=36?商+(商+17).
根据“被36除余3”.(商+17)被36除要余3.商只能是22(如果商更大的话,与题目条件“三位数”不符合).因此,这个三位数是37?22+17=831.
3) 4;11,35,55,77。393减8,那么差一定能被两位数整除.
∵393-8=385， 385=5?7?11=(5?7)?11=(5?11)?7=(7?11)?5 ∴385能被两位数11，35，55，77整除.本题的答案是4个:11,35,55,77. 4) 1，∵31453?4=7863?1， 68765?4=17191?1， 987657?4=246914?1
1?1?1=1
∴31453?68765?987657的积除以4余数是1.
2． 除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是_____． 172
因为除以3余1,除以5余2的最小数是22,而3和5的最小公倍数是15,所以符合条件的数可以是22,37,52,67,??.又因为67?7=9?4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，?.
所以,符合条件的最小三位数是172.
余数与带余除法 3． 有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个．这盒乒乓球
至少有多少个?
如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.
所以这盒乒乓球有123个
4． 一个五位数79□□8，除以13或37，余数都是2，请在□中填入正确的数字，使这个整数还原。
13?37?481，假设该数为79008，则79008?481?164?124。由此得到：2?481?164?78886，78886?481?79367，79367?481?79848。所以该数为79848。
5．有一串数：1，1，2，3，5，8，13，?，其中第1和第2个数均为1，从第3个数开始，每个数恰好是前
两个数的和，那么在这串数中，第2009个数被3除后所得的余数是多少？
1．
这串数被3除后所得的余数依次为：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，?。我们可以看出上面的数列是按1，1，2，0，2，2，1，0循环的。2009除以8的余数是1，即第2009个数被3除后所得的余数应该是每个循环中的第1个，即为1。
6． 已知自然数a除1234和5678所得的余数相同，自然数b除4321和8765所得的余数相同，又知道
a+b=123，a>b，求a和b分别是多少？
a=101，b=22。a除1234和5678所得的余数相同，因此a就能整除他们的差，即5678－1234＝4444，故a是4444的约数。同样的道理可得b也是4444的约数。4444=2×2×11×101，因为a+b=123可求a，b的
值。
7． 一个自然数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，求这个自然数．
解：经过观察，可以看出95大约是63的1.5倍半，143也大约是95的1.5倍．
为了得出所求的数，该数必须与以上3个数的某个倍数比较接近．3个数的比为4:6:9，所以143的4倍，也就是572与3个数的倍数比较接近．
572除以这3个数的余数分别为0、2、5．此时余数和为7，这样该数除以3个数的余数比所要求的余数少19?7?12，于是所求的数比572大4，也就是576．
8． 一个三位自然数除以他的各位数字都余5，请求出所有满足要求的三位数.
答案：明显这些数字都大于5且末尾不能是偶数，如果末位为9，那么这个数的另两个只能是6和8或者7和7，满足要求的只能是869；如果末位为7，如果含有数字9，只能是7、7、9组成的，但是它们除以7都不余5，如果含有6，只能是6、7、7组成的满足要求的数为677，不含6时只能是877，它除以7的余数不是5。综上所述满足要求的数只有869和677两个。
余数与带余除法 9.有一些自然数，它除以7的余数与除以8的商的和等于15，求所有满足这样条件的所有数的和.
126+113+107+101+95+88+82+76=788
10.一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，则满足这些条件的最小自然数是多少？ 257
11． 一个小于200的整数除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余2，则这个数是 ．
由题目条件可知：该数加上1后是3、4、5、6的倍数．所以此数是60的倍数减1．它又比200小，所以它可能是59、119、 179,又因为该数被7除余2，所以它是179．
12.数119很奇特：它被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5.请问具有这样性质的三位数还有多少个？ 14
13． 三个连续的两位数除以5的余数之和是7，除以7的余数之和是9，除以9的余数之和是15．则这三个
数除以11的余数之和是 ．
三个连续的两位数除以5的余数之和是7，那么只可能是3?4 ?0?7，所以第一个数被5除余3；同样方法可以得出第一个两位数除以7余2，除以9余4或者7．
如果第一个两位数除以9余4，那么由于它除以7余2，所以它只能是7?9?5?58，满足除以5余3的要求．这时三个数除以11的余数依次是3、4和5，和是12．
如果第一个两位数除以9余7，那么由于它除以5余3，所以它只能是5?9?2?43或者5?9?2?2?88，但是它们都不满足除以7余2的要求．
因此题目所求的余数之和是12．
14． 有些四位数是7的倍数，且将它从中间划分成前后两个两位数时，前面的数能被3整除，后面的数能被
5整除，那么所有这样的数中最小的一个是________．
最小的能被3整除的两位数是12，故题述的四位数的前两位数字最小是12．1200除以7的余数为3，因而当此种四位数的前两位为12时，后两位应既能被5整除，又被7除余4．经计算这样的两位数最小是25，于是本题的答案为1225．
L445515． 整数5514423除以84的余数是________．
1997个5 余数与带余除法 31．84?3?4?7，所以要先考虑55L445514423被3，4，7除的余数．此数的各位数字之和是5?1997，故它被3除余
1997个52?2，即1．55L445514423除以4的余数等于其末两位数55除以4的余数，是3．注意1001?7?11?13，而
1997个5555555?555?1001，且1997除以6余5，因此该数除以7的余数为55555除以7的余数，是3． 被4，7除均余3的数被28除3，在3，28?1?3，28?2?3中31恰除以3余1，故55?55除以84的余数?????1997个5是31．
16.如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），小明像玩跳棋一样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后回到A孔，它先试着每隔两孔跳一步，结果只能回到B孔，它又试着每隔4孔跳一步，也只能回到B孔，最后它每隔6孔跳一步，正好跳到A孔，求一圈上有多少个孔？ 91
（三） 课后作业
1. 949除以一个两位数所得的余数是4，则这个两位数最大是________．
2. 一个数除以2余1，除以3余2，则除以6余________．
3. 在首位是1，被3除余1，被5除余3，被7除余5的四位数中，最大的一个是________．
4. 四位数8□98能同时被17和19整除，那么这个四位数所有质因数的和是_____．
5. 一个整数除以84的余数是46，那么它分别除以3，4，7所得的3个余数之和是________．
6. 某商店进了不到10000块散装巧克力，打包装时，如果每包装10块，最后一包只能装8块；如果每包装
9块，最后一包只能装7块；如果分别按每包装8、7、6、5块，最后分别剩6、5、4、3块．如果改为每包装11块则恰好平均装完，那么这批巧克力共有多少块？
7. 满足被5除余3，被6除余1，被7除余2的最小的自然数是_________．
8. 100个7组成的一百位数，被13除后，问：
（1）余数是多少？（2）商数中各位数字之和是多少？