黄金分割及比例线段

5、美妙的黄金分割和黄金数

ACBC?,点C就叫做线段AB的黄金分割ABACACBC?点.每条线段都有两个黄金分割点,若点C把线段AB分成AC,BC,如果,则ABACBDAD?点C是线段AB的黄金分割点,同样,若点D把线段AB分成AD,BD,如果,ABBD则点D也是线段AB的黄金分割点.那么黄金分割点到底在什么位置呢?让我们来算一算.

CB如图,设AC=x,那么 BC=AB-AC=AB-xA

由于 AC2=AB﹒CB, 所以 x2=AB(AB-x)

任取一条线段AB,在AB上找一点C,使得

5?15?1AB, 即 AC=AB≈0.618AB. 22这个黄金分割值0.618就是人们所说的“黄金数”.黄金数0.618是十分有趣的,0.618

D Y C 的倒数是1.618,而0.618×1.618=1.

用纸可以折出黄金比例,裁一张正方形纸片ABCD, 先 折出BC的中点E,然后折出直线AE,再通过折叠,使EB落

E

到直线EA上,折出点B的新位置G,因而EG=EB.类似的, G 在AB上折出点X,使AX=AG,折出的点X就是AB的黄金分

X F B A 割点.你不妨算一算.

数学家法布兰斯在13世纪写了一本书,其中有这样一些数的组合:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,??它们有以下一些特点:

1.数列中任意数字都是由前面两个数字之和构成; 2.前一数字与后一数字之比趋近于一固定常数0.618; 3.后一数字与前一数字之比趋近于1.618;

4.1.618与0.618互为倒数,其乘积约等于1;

5.任一数字与它后面第二个数字相比,其值趋近于0.382;与它前面第二个数字相比,其值趋近于2.618.

5?1在所有矩形中,短边与长边之比为的矩形最为美观,人们把这种长与宽的比

2值近似于0.618的矩形称为“黄金矩形”.

在正五角星中有两种特殊的等腰三角形,一种是顶角为360的等腰三角形,一种是底角为360的等腰三角形,毕达哥拉斯学派把它们称为“黄金三角形”.

黄金分割是几何中的一个著名问题,它实际上是比例线段问题.黄金分割有着广泛的应用,如在设计工艺品或日常用品的宽与长时,常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感;在拍照时,常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目;舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处,这样音响效果就比较好,而且显得自然大方.黄金分割与人体也有很大关系,人的肚脐把人从头到脚作了黄金分割,上肢的黄金分割点在肘关节,肚脐以上部分的黄金点在咽喉,肚脐以下部分的黄

解这个方程得 x?金点在膝盖.

生物学家发现植物种类繁多、叶子形态各异,但是叶子在茎上的排列却有着特殊的规律.我们从某种植物的顶端往下看,便会发现上下层相邻的两片叶子之间所构成的角约

0

为137.5,如果每层叶子只画一片来表示,第一层和第二层的相邻两叶之间的角度约为137.50,以后二层到三层、三层到四层、四层到五层??两叶之间都成这个角度,这个角度对叶子的通风和采光最为有利.这叶子之间的137.50角与黄金数又有什么联系呢?我们知道,一周为3600,137.50:(3600?137.50) =137.50:222.50≈0.618.也就是说,各种植物叶子的生长规律中自然隐藏着黄金数.

在日常生活中,还存在着许多令人费解的“黄金分割”之谜.科学家们发现,当外界环境的温度约为人体体温的0.618倍时,人会感到最舒适.我们的书本和窗户,其形状大都基本符合黄金分割.黄金分割留给我们的是永远的美和未解的谜,它到底反映了一个什么样的普遍规律呢?但愿你能有所发现!

6、线段黄金分割点的几种求法

所谓黄金分割,就是一点C把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较长的线段(AC)是较短线段(BC)和整个线段(AB)的比例中项(如图1所示).

图1

下面介绍黄金分割点C的几种求法,供同学们学习时参考. 1. 黄金分割点的几何求法 已知:线段AB

求作:线段AB的黄金分割点C. 作法:如图2所示,

图2

1AB; 2(2)连结AD,在AD上截取DE=BD; (3)在AB上截取AC=AE. 则点C就是所求的黄金分割点.

1证明:∵ AC=AE=AD-AB,

2

(1)过B点作BD⊥AB,使BD?而AD=AB2?BD2

11AB255?1ABABAB. =-AB=)-22222∴C点是线段AB的黄金分割点. 2. 黄金分割点的代数求法 已知:线段AB

求作:线段AB的黄金分割点C.

分析:设C点为所求作的黄金分割点,则

解这个方程,得

∴ AC=AB2?(

所以C点可作. 注意:方程的解法将在九年级一元二次方程时学.

3. 黄金分割点的近似求法 已知:线段AB

求作:线段AB的黄金分割点.

分析:若不限于尺规作图,用量角器可以作以线段AB为一腰,顶角A=36°的等腰三角形ABC,如图3所示,然后作ACB的平分线CD交AB于点D.

图3

则点D就是线段AB的黄金分割点.

证明:在△ABC中,∵AB=AC,A=36°,

180??36? ∴ ∠ACB=∠B==72°,

2又CD平分∠ACB,

∴∠1=∠2=36°,∠3=∠A+∠1=72°. ∴BC=CD=AD,∵△CDB∽△ABC,

BDBC?∴ ,即BC2=AC·DB, BCAC∴ AD2=AB·DB.

由于作顶角为36°的等腰三角形的底角平分线后,仍可得到另一个顶角为36°的等腰三角形,周而复始,永无止境,所以这类等腰三角形也被称为“黄金三角形”. 类似地,如果在宽与长之比为0.618∶1的长方形内,作以长方形的宽为边长的正方形,仍可得到另一个宽与长之比为0.618∶1的长方形,所以这类长方形也称为“黄金矩形”,如巴特农神庙,图4.

图4

7、中考黄金分割问题两例

华师大八年级教材71页的阅读材料里已经简单的向我们介绍了一些黄金分割问题。瞧,05年的中考试题中就出现了几例关于黄金分割的考题,现在将其列举出来与大家共同赏析。

一、确定演播厅的主持人站立的位置 例1、(湖北省十堰市)如图,已知线段AB,点C在AB上,且有ACBCAC?,则的数值为 ;若AB的长度与中央电ABACAB视台演播厅舞台的宽度一样长,那么节目主持人应站在 位置最好。

AC5?1解析:由黄金分割的定义可知的数值为。依据教材上的介绍可知节目主

AB2持人应站在线段AB的黄金点C,这样下面的观众看上去感觉最好。 二、黄金矩形

例2、(扬州市)若一个矩形的短边与长边的比值为

5?1(黄金分割数),我们把2这样的矩形叫做黄金矩形。

(1)操作:请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方形AEFD;

(2)探究:在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是,请予以证明;若不是,请说明理由;

(3)归纳:通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结论(不需要证明)。

解析:(1)在AB、DC边上,分别截取AE=DF=AD,连接EF,则四边形AECF

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