发布时间 : 星期一 文章全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准（非数学类）更新完毕开始阅读
全国大学生竞赛历年试题名师精讲
（非数学类） （2009——2013）
精选
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（非数学类）
一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）
1.求极限lim1?sin?1?4nn???2?.
n解 因为sin?1?4n2?sin?1?4n2?2n??sinn???1?4n?2n2……（2分）；
????????nln?1?sin原式?lim?1?sin??exp?lim?? 22n??n???1?4n?2n???1?4n?2n????????………………………………………………………………………………………(2分)；????1?n??exp?limnsin?exp?lim?e4……(2分) ??2?1?4n2?2n???n???n???1?4n?2n????sinx2.证明广义积分?dx不是绝对收敛的
x0?n?1??解 记an?n??sinxxdx，只要证明?an发散即可。……………………（2分）
n?0?1因为an??n?1????n?1??n??12sinxdx?sinxdx?。…………（2分） ??n?1??0?n?1????2而?发散，故由比较判别法?an发散。……………………………………
n?0n?0?n?1??（2分）
3.设函数y?y?x?由x3?3x2y?2y3?2确定，求y?x?的极值。
解 方程两边对x求导，得3x2?6xy?3x2y??6y2y??0 ………………（1分）
x?x?2y?故y??，令y??0，得x?x?2y??0?x?0或x??2y………（2分）
2y2?x2将x??2y代入所给方程得x??2,y?1，
将x?0代入所给方程得x?0,y??1，…………………………………（2分）
?2x?2xy??2y??2y2?x2??x?x?2y??4yy??2x?又y???
222?2y?x?y??0?0?2??2?0??0???1?0,y??x??2,y?1,y??0?1?0， x?0,y?1,y??0?2?2?0?精选
故y?0???1为极大值，y??2??1为极小值。…………………………（3分）
4.过曲线y?3x?x?0?上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为
3，求点A的坐标。 4解 设切点A的坐标为t,3t，曲线过A点的切线方程为y?3t?3t……………………………………………………………………………（2分）； 令y?0，由切线方程得切线与x轴交点的横坐标为x0??2t。
??132?x?t?
从而作图可知，所求平面图形的面积
t133333S?t?t??2t?xdx?tt??t?1， ??????2440故A点的坐标为?1,1?。……………………………………………………（4分）
?二、（满分12）计算定积分I?0???xsinx?arctanexdx
1?cos2x解 I?????xsinx?arctanexxsinx?arctanexdx??dx 21?cos2x1?cosx0??xsinx?arctane?xxsinx?arctanex（4分） ??dx??dx…………………………………221?cosx1?cosx00xsinx?xsinx?xx（2分） ???arctane?arctanedx?dx ……………………??22?1?cosx201?cosx0???????2?2???sinxdx……………………………………………………………（4分） 2?1?cosx023?????………………………………………………… （2分） ????arctancosx0?28??f?x??0。三、（满分12分）设f?x?在x?0处存在二阶导数f???0?，且lim证明 ：
x?0x??1?级数?f??收敛。
?n?n?1f?x??0得 解 由于f?x?在x?0处可导必连续，由limx?0x?f?x?? f?0??limf?x??lim?x?（2分） ??0…………………………………………x?0x?0x??f?x??f?0?f?x??lim?0…………………………………… （2分）
x?0x?0x?0x由洛必塔法则及定义
f?x?f??x?1f??x??f??0?1lim?lim?lim?f???0? ………………… （3分） 2x?0x?0x?0x2x2x?02 f??0??lim精选
?1?f???n?1??所以 lim ?f?0? …………………………… （2分）2n??2?1????n???1?1?由于级数?2收敛，从而由比较判别法的极限形式?f??收敛。……（3分） nn??n?1n?1四、（满分12分）设f?x???,f??x????0?a?x?b?，证明?sinf?x?dx?ab2 m解 因为f??x????0?a?x?b?，所以f?x?在?a,b?上严格单调增，从而有反函数………………………………………………………………………………（2分）。
11?……… 设A?f?a?,B?f?b?,?是f的反函数，则0????y??（3分） f??x?m又f?x???，则???A?B??，所以?sinf?x?dx?abx???y?B ????y?sinydy…（3分）
A112?????y?sinydy??sinydy??cosy? ………………… （2分）
mmm000???五、（满分14分）设?是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分
I????x3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy。试确定曲面?，使积分I的值
?最小，并求该最小值。
解 记?围成的立体为V，由高斯公式
I?????3x2?6y2?9z2?3?dv?3????x2?2y2?3z2?1?dxdydz ……………（3分）
VV为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域x2?2y2?3z2?1?0，即 取V???x,y,z?x2?2y2?3z2?1 ，曲面?:x2?2y2?3z2?1 …… （3分）
???x?u100???x,y,z?1??010?为求最小值，作变换?y?v，则，
22?u,v,w??6?1?z?w00?33?3222u?v?w?1?dudvdw ……………………………………（4分） 从而I?????6V322使用球坐标计算，得I?d?d?r?1rsin?dr ?????6000?336?246?11? ?2??????cos??0??4????? …………………… （4分）
53615156??ydx?xdy六、（满分14分）设Ia?r???，其中a为常数，曲线C为椭圆?22aC?x?y??2?1?精选