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点集拓扑学练习题参考答案（第7章）
一、单项选择题
1、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（ ）
① lindeloff空间 ②正则空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案：③ 2、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）
①非紧致子集 ②开集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案：③ 3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ）
① 即开又闭子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③ 4、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（ ） ① 闭集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集
答案：② 5、实数空间R的子集A?{1,2,3,4}是（ ）
① 闭集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集
答案：①② 6、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（ ）
①T2空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：① 7、设X是拓扑空间，A是X的子集，则下列不正确的命题是 ( ) ①. 若A是序列紧致的，则A是可数紧致的 ②. A是列紧的当且仅当A是序列紧致的 ③. 若A是可数紧致的，则A是列紧的 ④. 若A是紧致的，则A是列紧的
答案：②
1
二、填空题（每题1分）
1、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .
答案：紧致空间
2、设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间， 则称Y是拓扑空间X的一个 .
答案：紧致子集
3、设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间
X是一个 可数紧致空间
4、设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一 个 .
答案：列紧空间
5、设X是一个拓扑空间. 如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空
间X是一个 . 答案：序列紧致空间
6. 当X为___________________________空间，则X的闭集是紧致子集；
X为___________________________空间，则X的紧致子集是闭集；
7. X为__________________________________, 且为序列紧空间时, X为可数紧空间. 8.f:[0,1]?Y为连续的满射，则Y是 。 （填Y具有哪些具体的紧致性、可数性、分离性等性质，写3个）
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、设A,B是拓扑空间X的两个紧致子集，则A?B是一个紧致子集.( )
答案：√
理由：设A 是一个由X中的开集构成的A?B的覆盖，由于A和B都是X的紧致
子集，从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A和B的覆盖，故A1 ?A2是A 的有限子族且覆盖A?B，所以A?B是紧致子集.
2
2、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )
答案：√
理由：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，则对于任何x?X，若x?A，则
易知x不是A的凝聚点，因此A?A，从而A是一个闭集. 四．简答题（每题4分）
1、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.
答案：如果X的无穷子集的A没有凝聚点，则对于任意x?X，有开邻域Ux，使得
(Ux?A)?{x}??，于是X的开覆盖{Ux|x?X}没有有限子覆盖，从而X不是紧致
空间，矛盾.故紧致空间X的无穷子集必有凝聚点. 2、如果X?Y是紧致空间，则X是紧致空间.
答案：考虑投射P1:X?Y?X，由于P1:X?Y?X是一个连续的满射，从而由X?Y紧致知X是一个紧致空间.
3、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集.
答案：如果A 是Y的任意一个由X中的开集构成的覆盖，则B=A?{Y?}是X的一个开覆盖.设B 1是B的一个有限子族并且覆盖X.则B 1?{Y?}便是A 的一个有限子族并且覆盖Y，从而Y是紧致子集. 五、证明题（每题8分）
1、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集，证明f(A)是Y的一个紧致子集.
证明：设C是f(A)的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意C?C，f?1(C)是X中的一个开集，由于?c?CC?f(A),从而有：
?C?Cf?1(C)?f?1(?C)?fC?C?1(f(A))?A
所以A A={f?1(C)|C?C}是一个由X中的开集构成的A的覆盖.
由于A是X的一个紧致子集，所以A 有一个有限子族，设为{f?1(C1),?,f?1(Cn)}覆
3
盖A.
因为f?1(C1)???f?1(Cn)?f?1(C1???Cn)?A，从而C1???Cn?f(A)， 即{C1,?,Cn}是C 的一个子族并且覆盖f(A)，因此f(A)是Y的一个紧致子集. 2、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，Y?X.证明：如果A?Y?A,则
Y也是X的一个紧致子集.
证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，
n由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员A1,?,An使得?Ai?A.
i?1n由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得U??Ai,
i?1n从而有 ?Ai?A?Y, 从而A有有限子族{A1,?,An}覆盖Y，
i?1因此Y是X的一个紧致子集.
3、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集.证明：A也是X的一个紧致子集. 证明：设A是任意一个由X中的开集构成的A的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员A1,?,An使得?Ai?A.
i?1nn由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得U??Ai,
i?1n从而有?Ai?A,从而A有有限子族{A1,?,An}覆盖A，
i?1因此A是X的一个紧致子集.
4、设X是一个Hausdorff空间，A 是它的一个非空集族，由X的紧致子集构成，证明：
?A?AA是X的一个紧致子集.
证明：对于任意A ∈A，易知A是X的一个闭集，
4
从而?A?AA是X的一个闭集.
取A0?AA，则有?A?AA?A0，由于A0是紧致的闭集， 从而?A?AA是紧致子集A0一个闭子集，
故 （由紧致的闭遗传知）?A?AA也是X的一个紧致子集.
5、设f:X?Y是连续的一一映射，其中X是紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，证明f:X?Y是一个同胚映射.
证明：要证明f:X?Y是一个同胚映射， 只需证明f?1:Y?X连续，进而只需证
明f是闭映射.设A是X的闭集，由X是紧致空间，从而A是X的一个紧致子集，故f(A)是Y的一个紧致子集，
由于Y是一个Hausdorff空间，因此f(A)是Y的一个闭集，从而f是闭映射. 6、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.
证明：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，设对于任意x?A，有x和A的开邻域U和V使得U?V??，
从而U?(A?{x})??，故x?d(A)，所以d(A)?A，即A是一个闭集．
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