发布时间 : 星期一 文章《数学分析》（华师大二版）课本上的习题12-15更新完毕开始阅读
（9）
n1sinnx 10. (0?x?2?)(?1)??nnn?2lnn?2． 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：
(?1)x（1）?n1?xnnn(x?0)
（2）
?sinnxna（a>0）; ,x??0,2??，
(3)
ncos?(?1)n
nn?112n2?a????aa且lima?0.证明级数?(?1)3.设a?0,a?a(n?1,2,.....)nnnn?1n??n是收敛的。 4．设
件收敛p,q如(8)式所定义,证明:若?u条nnn,则级数?p与?qnn都是发散
的。
5．写出下列级数的乘积： （1）(?nx?n?0n?1)(?(?1)?nn?1nxn?1(?1)1) ), （2）(?)(?n!n!n?0n?0???nn?0n6．证明级数7．重排级数
?ann!与
(a?b)b乘积等于绝对收敛，且她的??n?0n!n!。
?(?1)n?11使它成为发散级数。 n[n]8．证明：级数
?(?1)n收敛。
总练习题 1． 证明：若正项级数2． 若级数
?u?单调，则limnu?u收敛，且数列nnn??n?0.
?a与?cnn都收敛，且成立不等式
a?b?c(n?1,2,.....)，证明级数
nnnn?b也收敛，若级数?a?c都发散，试问?b一定发散吗？
nn,n
3.若
alimbn??nn?k?0,且级数?|bn|收敛，证明级数?an也收敛，若上述条件中，只知
道
?b收敛，能推得?a收敛吗？
nn4．（1）设
?u为正项级数，且nuun?1n?1，能否断定级数?un收敛？
（2）对于级数
?u有nuun?1n?1，能否断定级数?un不绝对收敛，但可能条件收敛。
（3） 设
?u为收敛的正项级数，能否存在一个正数?，使得nlimn??u1n=c>0.
n1??5.证明：若级数6．证明级数7．讨论级数
?a收敛，?(bnn?1?bn)绝对收敛，则级数?anbn也收敛。
1?a?bn是发散的。
?n?2?1n(lnn)p,(p?0)的收敛性。
8．设
an?0，证明级数??an21(1?a1)(1?a2)???(1?an)是收敛的。
29．证明：若级数与
?bn2收敛，则级数
12?ab?(an?bn)也收敛，且
n和n ?((an?bn)2)?(?an2)?(?bn2)2221212
(?anbn)??an??bn10．证明：（1）设
?a1为正项级数，若n____u?aalimu(nn??nn?1n?1)?0，则正项级数?un收
敛。（2）若级数
?a发散，且
nulim(na?aun?1nn??n?1)?0,则正项级数?un发散。
第十三章 函数列与函数项级数 §1一致收敛性
1． 讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：
（1）
fffn(x)?x2?1n2,n?1,2,...D?(?1,1)
（2）
n(x)?x1?n2x2,n?1,2,...D?(??,??)
1 n?1（3）
n(x)?-(n+1)x+1, 0?x? 0, (4) (5)
1?x?1,n?1,2,... n?1ffx,n=1,2,…(?)D=[0,??), D=[0,1000]
nnx(x)?sin,n?1,2,...(?)D=[-l,+l] ,(??)D=(-?,??) nn(x)?n?12(6)
(?1),D=(-?,??) ??nxx(1?x2)fn2(7)
?n?1, (?)D=(-?,??) (??)[1/10,10]
2.证明：设
(x)?f(x),x?D;an?0,(n??),(an?0).若对每一个自然数n有
fn(x)?f(x)?an,x?D,则n?f?在D上一致收敛于f.
nnn?f?为定义在[a,b]上的函数列，且对每一个n,f在点a右连续，但?f证明在任何开区间（a,b+?）(这里a+??b)内?f?都不一致连续。
3.设
n(a)是发散的，
?4．设函数项级数
?u(x)在
nD上一致收敛于S(x),函数g(x)在D上有界。证明级数
?g(x)u(x)在 D上一致收敛于g(x)S(x).
n5.判别下列函数项级数在所示区间上的一致连续性： （1）
(?1)x,x?(??,??) x （2）,x?[?r,?r];??(n?1)!(1?x2)n2nn?1
（3）
?nxx,x?[0,1] （4）,x?r?0;?2nnunn6．若在区间I上，对任何自然数n,数
(x)?vn(x).证明当?vn(x)在I上一致收敛时，级
?u(x)在I上一致收敛。
n7．设
（n=1,2,…）是[a,b]上的单调函数，证明：?u(a)与?u(b)都绝对收敛，u(x)，
nnn则级数
?u(x)在[a,b]上绝对并一致收敛。
n8．在[0,1]上定义函数数列
证明：级数
11, x? nnu(x)= n n=1,2….. 0， x?1 n?u(x)在[0，1]上一致收敛，但它不存在优级数。
n9．讨论下列函数列或函数项级数爱所示区间D上的收敛性： （1）
fn(x)?1,n?1,2....,D?(0,1]; nx?1?sinnx,D?[0,2?]; （3）?（2）?xn?2(1?2nx?n)[x?(n?1)]2222,D?[?1,1]
（4）
?2nsinx3n,D?(0,??);
2n?1（5）
,D?[?1,1] ?xn,D?[?1,0]; （7）?(?1)2xn?1n?n10．试构造一个定义在（0，1）上的函数项级数，使得它在有理点上收敛，在无理点上发散。 11．证明：级数
?(?1)x(1?x)在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的
nn?0n级数在[0，1]上却不一致收敛。
12．设f为定义在区间（a,b）内的任一函数，记在（a,b）内一致收敛于f. 13.设
fn(x)?[nf(x)],n?1,2...证明函数列n?f?n?u(x)?为[a,b]上正的递减且收敛于0的函数列，每一个u(x)都是[a,b]上的单调函
nn数，则级数
u(x)?u(x)?u(x)?u(x)?....在[a,b]上不仅收敛而且一致收敛。
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