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癌症治疗方案的研究
摘要
本文在建立肿瘤早期指数增长模型的基础上，研究了使用高LET放射治疗鼻咽癌的治疗方案，并建立了口服药物时体内药物浓度关于时间的变化函数研究服药量与服药周期的关系。
对于问题一，本文假设肿瘤在早期的增长符合指数增长模型，即肿瘤的体积变化率
1cm的肿瘤时，需30?天，即最少210天。由此本文建议人们以15?天即三个月左右为周期定期到医院进行一次体检。通过查阅资料，我们发现鼻咽癌可以使用高LET进行放射性根治，放疗一次细胞存活率SdV?t???V?t? ，则可推算出肿瘤直径D?D023?，那么由一个肿瘤细胞直径10um增殖至直径dtt?e?DD0，当D?D0时，S?e?1?0.368，即在这种疗法下，每次可使肿瘤细胞
V?e?t，第n次照射后所存活的肿瘤细胞数目为：存活率达到36.8%。而细胞总数N?V0Nn?N0?en(?t?DD0) ，我们发现，当每天放疗一次，剂量为D0，那么病人放疗14次后，体
内癌细胞数位90000个，小于个，即可以认为放疗14次后病人就能依靠自身的免疫系统将癌细胞杀灭。
对于问题二，本文通过建立药物浓度关于时间的函数，根据不同的服药量，可求得不同的服药周期，使病人体内药物浓度在下一次服药前始终在A以上，确保了能够有效的杀死体内病菌。也可知道任意时刻病人体内的药物浓度，为
?B???t??tCt?e?e 0?t?T1?????(???)V?????(t?T1)??(t?T1)?C(t)???B?e??T1?e??T1??B?e?e T1?t?nT?T1??????(???)??????V?（T1为第一次服药周期为，T为以后每次服药周期）
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一、问题重述
1.1 问题背景
癌症，医学术语亦称恶性肿瘤，中医学中称岩，由控制细胞生长增殖机制失常而引起的疾病。癌细胞除了生长失控外，还会局部侵入周遭正常组织甚至经由体内循环系统或淋巴系统转移到身体其他部分。国内外医学界已经证实，人类80％～90％以上的癌症与外部环境因素相关，也就是人类生活环境中的物理、化学和生物因素与癌症的发生密切相关。环境的不良侵害会受到人体防护系统的缓冲或抵抗，其作用能被消除或减弱。当致癌因素过强或累积效应过大，而人体存在免疫功能不足或身体修复功能有缺欠情况下，就有可能发生癌症。
正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg，人体可通过免疫系统抑制来消灭癌细胞，但是当人体内防癌能力减弱或被抑制，癌细胞就会继续增殖下去，形成临床可见的癌症。设肿瘤的增倍时间σ，根据统计资料，一般有σ (7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一。手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。肿瘤对放射敏感性的高低与肿瘤细胞的分裂速度、生长快慢成正比。同一种肿瘤的病理分化程度与放射敏感性成反比，即肿瘤细胞分化程度低则放射敏感性高，而分化程度高者则放射敏感性低，但放射敏感性与放射治愈率并不成正比。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞。针对各种不同的癌症，放射性疗法是非常行之有效的方法。 1.2 目标任务
问题一：癌症患者多发现于晚期，如果早期发现，会有更多的机会治愈，或者极大地延长患者寿命。本文通过建立肿瘤早期的指数增长模型，研究肿瘤由一个细胞增殖至可临床发现的直径1cm大小所需要的时间，并给出及早发现肿瘤的建议。 问题二：在肿瘤早期的指数增长模型基础上，定期对患者使用用高LET射线进行放射治疗，建立数学模型研究放射剂量、放射间隔与放射次数之间的关系，并给出一个较为合理的放疗方案。
问题三：医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到A。本文通过建立药物浓度关于时间的函数，根据每次服药量，求得服药周期。
二、模型假设
1、假设肿瘤细胞核肿瘤的外形为球形，且不考虑细胞之间的间隙； 2、假设在治疗期间不考虑外界因素对治疗效果的影响； 3、假设不考虑肿瘤位置的转移； 4、假设每个肿瘤细胞的增长率相同。
三、符号说明与名词解释
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3.1 符号说明
符号 意义 某肿瘤初始时刻t0的体积 V0 V?t? ? t时刻的肿瘤体积V?t? 单位时间内肿瘤的增长率 肿瘤增倍时间 肿瘤增倍次数 人体资源环境能容纳的最大肿瘤体积 人体资源环境能容纳的最多肿瘤细胞数目 重症癌痛患者一次服药量 t时刻残留药物量 t时刻体内药物量 ? k Vm Sm B y(t) x(t) 3.2 名词解释
增倍时间：在临床医学应用上，肿瘤体积增大一倍所需要的时间； 放射剂量：每次放射剂量为放射治疗时间与选择放射强度的乘积。
四、模型分析与建立
4.1 问题一 4.1.1 问题的分析
对于问题一，题目可以分解成三个小问题。（1）结合合理的假设，用数学建模方法研究肿瘤细胞的增长问题，（2）在熟悉肿瘤细胞生长模型的基础上，为及早发现病症及早治疗，制定合理的措施，（3）在了解放射疗法的基础上，为某种癌症设计一个行之有效的放射治疗方案。
对于（1），为了研究肿瘤的生长模型，根据假设1，本文中主要考虑肿瘤细胞数目增长引起的肿瘤体积的增长变化，将肿瘤的生长过程划分为早期和中晚期。
首先在早期过程中，由于营养充分，肿瘤细胞增长基本不受限制，它比较符合指数增长模型。本文考虑医学上肿瘤的直径容易测出，且通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，故求解方法是通过体积增倍时间推导出直径增长速度。
其次，在肿瘤生长的中晚期，由于营养供应有限，生理条件的限制，将会阻滞肿瘤细胞的增长速度，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。文中引入限制条件，可以将模型改进为带有阻滞的增长模型。
对于（2），本文中研究利用高LET电离射线放射疗法，记每次的放射剂量为D，
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平均致死剂量为D0，细胞存活率为0.368。放疗后仍成指数增长。则可算出每次放疗后所剩细胞数，当细胞数小于10000时即认为已根治。
对于（3），根据肿瘤早期生长模型和初始肿瘤细胞的数目，利用高LET电离射线放射疗法，研究每次放射治疗能存活的肿瘤细胞的概率，通过迭代法，探索能够到达治愈效果的方案。最后根据所查数据给出行之有效的放射治疗方案。 4.1.2 肿瘤早期生长模型 4.1.2.1 模型的建立与求解
假设某肿瘤初始时刻t0的体积为V0，t时刻的体积为V?t?，单位时间内肿瘤的增长率为?（?为常数），并且肿瘤的增长率（体积变化率）与当时的体积成正比，则可得到如下方程：
dV?t???V?t? , V?t?t0??V0 （1） dt则 V?t??V0e4.1.2.2 模型的求解 （1）增倍时间的求解：
模型简化后为
dV??V， （3） dt??t?t0?. （2）
积分解得：t?则
lnV?C?，
ln2V?ClnV?Cln2 ??故肿瘤增倍时间为
ln2?????, （4）
。 ?（2）直径增长速度的求解：
假设肿瘤体积为球形，则V?由模型可得：V?D36 （5）
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??t?V?V0e?t?D3?3V?3联立： ? ?D?D02?? 6?ln2??????
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