发布时间 : 星期六 文章2021届北师大版高考理科数一轮复习第一章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件更新完毕开始阅读
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、知识梳理 1．命题
在数学中，可以判断真假用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 常用结论 从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：
(1)若A?B，则p是q的充分条件； (2)若A?B，则p是q的必要条件；
p?q且q?/p p?/q且q?p p?q p?/q且q?/p
(3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A(5)若A
B，则p是q的充分不必要条件； B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A?/B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
二、教材衍化
1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________，是________命题(填“真”或“假”)．
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：若x≤y，则x2≤y2 假
2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．
解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．
答案：2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( ) (5)q不是p的必要条件时，“p?/q”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)命题的条件与结论不明确；
(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况； (3)对充分必要条件判断错误．
1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________． 答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0.
2．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________． 答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0. 3．条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________； (2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________． 解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}， (1)因为p是q的充分不必要条件， 所以A
B，所以a≥2；
(2)因为p是q的必要不充分条件， 所以B
A，所以a<2.
答案：(1)a≥2 (2)a<2
四种命题的相互关系及真假判断(自主练透) 1．命题“若x2<1，则－1
解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1 2．有以下命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题； ③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题． 其中真命题是( ) A．①② C．④ B．②③ D．①②③ 解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确． 1k???? 3．已知集合P＝?x|x＝k＋2，k∈Z?，Q＝?x|x＝2，k∈Z?，记原命题：“x∈P，则x∈Q”， ? ? ? ? 那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A．0 C．2 B．1 D．4 ??12k＋1???? ? 解析：选C.因为P＝?x|x＝k＋2，k∈Z?＝?x|x＝ ???2??? k?? {k∈Z}，Q＝?x|x＝2，k∈Z?， ? ? 所以PQ， 所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题， 则原命题的逆否命题为真命题． 原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2. (1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． [提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”． (2)判断命题真假的2种方法 ①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可； ②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．