发布时间 : 星期一 文章求二元函数极限地几种方法更新完毕开始阅读
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1.二元函数极限概念分析
定义1 设函数f在D?R2上有定义，P0是D的聚点，A是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数?，总存在某正数?,使得P?U0(PD时，都有 0;?) f(P)?A??,
则称f在D上当P?P0时，以A为极限，记limf(P)?A.
P?P0P?D上述极限又称为二重极限.
2．二元函数极限的求法
2.1 利用二元函数的连续性
命题 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0).
2 例1 求f(x,y)?x?2xy 在点(1,2)的极限. 2 解： 因为f(x,y)?x?2xy在点(1,2)处连续，所以
limf(x,y)x?1y?2?lim(x2?2xy)x?1y?2?12?2?1?2?5.
例2 求极限lim1．
?x,y???1,1?2x2?y2 解： 因函数在?1,1?点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即
11=．
?x,y???1,1?2x2?y23lim精彩文档
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2.2 利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 lim2?xy?4
x?0xyy?0解： lim2?xy?4
x?0xyy?0?limx?0y?0(2?xy?4)(2?xy?4)xy(2?xy?4)
?lim?xy
x?0xy(2?xy?4)y?0?1x?02?xy?4y?0?lim 1??.4例4 lim(1?2x2)(1?3y2)?12x?3y22?x,y???0,0?．
222解： 原式??x,y???0,0?lim??1?2x??1?3y??1???1?2x??1?3y??1?2?2x?2?3y2???1?2x??1?3y??1?22
??x,y???0,0?lim122?1?2x??1?3y??1?2x ?11?0?． 222?3y2???1?2x??1?3y??1?226x2y2
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2.3 利用等价无穷小代换
一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的
u2(x,y)等价无穷小(u(x,y)?0)，有 sinu(x,y)u(x,y)； 1?cosu(x,y)；
2ln?1?u(x,y)?u(x,y)；tanu(x,y)u(x,y)；arcsinu(x,y)u(x,y)；
u(x,y)；eu(x,y)?1u(x,y)；同一元函n数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用. arctanu(x,y)u(x,y)；n1?u(x,y)?1例5 求 limx?0y?01?x?y?1
x?y解： 当 x?0，y?0时，有x?y?0.1?x?y?1limx?0y?01(x?y)，所以 21?x?y?1x?y1(x?y) ?lim2x?0x?yy?01?.2
limx?0y?01?x?y?1x?y1?x?y?1(1?x?y?1)(1?x?y?1) 11?x?y?1?lim这个例子也可以用恒等变形法计算，如：
x?0y?0?limx?0y?01?.2精彩文档
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2.4 利用两个重要极限
1sinu(x,y)lim?1，lim?1?u(x,y)?u(x,y)?e 它们分别是一元函数中两个重u(x,y)?0u(x,y)?0u(x,y)要极限的推广.
例6 求极限 lim(1?x??y?a1)xyx2x?y .
解： 先把已知极限化为
1lim(1?)x??xyy?ax2x?y?1??lim?(1?)xy?x??xy?y?a?x2xy(x?y)x211?lim?, ，而 limx??xy(x?y)x??yy?ay?a(1?)yax当 x??,y?a时xy??,x2xy(x?y)11?0，所以 lim(1?)xy?e.
x??xyxyy?a?1?lim?(1?)xy???xy?故原式=xy?a??e. 例7 求 lim1a
sin(xy)极限.
x?0xy?asin(xy)sin(xy)?y.，当x?0,y?a时，xy?0，所以 xxy解： 因为
sin(xy)?1，再利用极限四则运算可得： xylimsin(xy)sin(xy)sin(xy)?limy.?limy.lim?a.·1=a.
x?0x?0y?axy?0xxyxyy?ay?a这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 x?0，y?a时，xy?0 ，sin(xy)精彩文档
xy.