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第三章 微分中值定理与导数的应用
本章将利用导数来研究函数的单调性和曲线的凹凸性，并讨论如何求函数的极值和最大最小值等问题，研究以上问题的理论基础，就是微分中值定理。
第一节 微分中值定理
一、 罗尔定理
定理1 如果函数f(x)满足 （1）在闭区间?a,b?上连续； （2）在开区间?a,b?内可导；
（3）在区间两个端点处的函数值相等,即f(a)?f(b). 则至少存在一点???a,b?，使得f'????0.
证 参见图3-1.由于f(x)在?a,b?上连续，故f(x)在?a,b?上必有最大值M和最小值
m.
(1) 如果M?m，那么f(x)在?a,b?上为常数，而常数的导数为零，故?a,b?内任何点都可作为?.
(2) 如果M?m，那么，最大值与最小值至少有一个在?a,b?内取到，不妨假设在?a,b?内某点x??处f????M,下证f'????0.
由于f????M是f(x)在?a,b?上的最大值，所以对于任意???x?[a,b]均有
f????x??f???.
当?x?0时，必有
?x?0lim?f????x??f????f?'?x??0，
?xf????x??f????f?'?x??0，
?x?x?0lim?由于f'???存在，故f'????0. 定理证毕.
y C A B罗尔定理的几何意义：若两端点纵坐标相等的连续曲线内处处具有不垂直于x轴的切线,则总可以在曲线内找到一点C??,f????,???a,b?，使曲线在点C的切线平行于x轴或弦
a ? b x 图3-1
AB（见图3-1）.
注意 罗尔定理只给出了结论中导函数的零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求
出的.
例1 不求导数,判断函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)的导数有几个零点及这些零点所在的范围.
解 因为f(1)?f(2)?f(3)?0,所以f(x)在闭区间[1,2]、[2,3]上满足罗尔定理的三个条件,则至少存在一点?1?(1,2),使得
f'??1??0;
又至少存在一点?2?(2,3),使得
f'??1??0;
即?1,?2都是f'(x)的零点.
又因为f'(x)为二次多项式,最多只能有两个零点,故f'(x)恰好有两个零点,分别在区间
(1,2)和(2,3)内.
例2 设函数f(x)在?1,2?上二阶可导，且f?2??f?1??0,又F?x???x?1?f?x?，试证至少存在一点???1,2?,使得F''????0.
证 由题设条件易知F(x)在?1,2?上连续,在?1,2?内可导,且F?1??F?2??0,即F?x?在?1,2?上满足罗尔定理的条件，故存在???1,2?，使得
2F'????0.
又因为F?x??2(x?1)f(x)?(x?1)f'(x)在[1,?]上连续,在(1,?)内可导,且
'2F'(1)?0?F'(?),故再由罗尔定理可知至少存在一点???1,????1,2?，使得
F''????0.
证毕.
二、 拉格朗日中值定理
定理2 如果f?x?满足 (1) 在闭区间?a,b?上连续; (2) 开区间在?a,b?内可导. 则必有???a,b?，使得
f?b??f?a??f'????b?a?.
分析 假设函数f?x?在区间?a,b?上的图形是连续光滑曲线AB，如图3-2所示.
yC B D A a ? b x 图3-2
显然，
f?b??f?a?是连接点A?a,f?a??和点B?b,f?b??的弦AB的斜率，而f'???是
b?a曲线y?f?x?在某点C??,f????处的切线斜率，因此定理的结论是：在曲线y?f?x?上
y?f?b??f?a?x.
b?a至少有一点C，曲线在该点的切线平行于弦AB.平行于弦AB的直线中最简单的便是
证 令F?x??f?x??f?b??f?a?x.由定理条件可知F?x?在?a,b?上连续，在
b?a?a,b?内可导,且
F?a??F?b??bf?a??af?b?，
b?a'即F?x?在?a,b?上满足罗尔定理条件.故必有???a,b?，使得F????0，即
f?b??f?a??f'????b?a?.
定理证毕.
定理中
f?b??f?a??f'????b?a?，
叫做拉格朗日中值公式,显然当b?a时它也成立.
在拉格朗日中值公式中记??a???b?a? ?0???1?，则有
f?b??f?a??f'?a???b?a???b?a?，
若取b?x??x,a?x，则又有
f?x??x??f?x??f'?x???x??x，
因此，拉格朗日中值公式又称为有限增量公式.当自变量取得有限增量?x而需要函数增量的准确表达式时,常用拉格朗日中值公式来表示.
推论 若函数f?x?在区间I上的导数f'?x??0，则在I上f?x?恒为常数.
证 在区间I上任取两点x1,x2?x1?x2?，应用拉格朗日中值定理有