发布时间 : 星期日 文章《信号与系统》讲义教案第4章 离散时间信号与系统的频域分析更新完毕开始阅读
第4章 离散时间信号与系统的频域分析
4.0 引言
本章讨论离散时间信号与系统的频域分析,讨论的基本思路和方法与第3章完全对应,许多结论也很类似。通过对离散时间傅立叶级数和变换的讨论，将揭示离散时间信号时域与频域特性的关系.不仅会看到许多性质与特性在连续时间信号与系统分析中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如离散时间傅立叶级数和变换总是以2π为周期的。通过卷积的讨论,对LTI系统建立频域分析的方法。同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。与连续时间LTI系统一样,由线性常系数差分方程描述的LTI系统可以很方便的由方程得到系统的频率响应函数Hej?，实现系统的频域分析,其基本过程及涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似.
??4.1 离散时间LTI系统对复指数信号的响应
在第3章开始，我们已经介绍过，线性时不变系统对复指数信号的响应。这里，我们再来讨论一下。
离散LTI系统对复指数信号z的响应：
nzn?h?n??y?n?
由时域分析方法：
??y?n??k????z?n?k?h?k??znk????h?k?z?k?H?z?zn （4.1） H?z??n????h?n?z??n（4.2）
可见LTI系统对复指数信号的响应就是输入的复指数信号乘以由系统产生的加权系
数，其响应是很容易求得的。若将离散时域信号表征为zn的线性组合的话，则可以方便地求得系统对时域信号的响应。当Z 取模为1的复指数信号e信号与系统的频域分析。
j?时，就是我们下面要讨论的
4.2 离散时间周期信号的傅立叶级数表示
4.2.1 离散时间傅里叶级数
前面我们已讨论过成谐波关系的复指数信号集:
?kn??j2N?k?n???e?
??该信号集中每一个信号都以N为周期，且该集合中只有N个信号是彼此独立的。将这
N个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以N为周期的序列。即：
x?n??k?N?aekj2?knN（4.3）
其中k为N个相连的整数。这一表达式就称为离散时间傅里叶级数（DFS），其中ak也 称为周期信号x?n?的频谱。
4.2.2 傅里叶级数的系数
2?knN2?rnN由x?n??k?N?aekj两边同乘以e2?rnN?j，得
2??k?r?nNx?n?e?j?k?N?aekj
显然x?n?e?j2?rnN仍是以 N 为周期的，两边对n在一个周期内求和：
?j2?rnNn?N?x?n?e?n?Nn?N??aekj2??k?r?nN?k?N?a?ekn?Nj2??k?r?nN
而
所以
n?N?x?n?e?j2?rnN?Nar
1即ar?N1或ak?Nn?N?x?n?e?j2?rnN
n?N?x?n?e?j2?knN (4.4)
显然上式满足ak?N?ak，即ak也是以N为周期的，或者说ak中只有N个是独立的。 对实信号同样有：
，
， ， ， 。
4.2.3 离散时间周期性方波序列的频谱
图4.1 离散时间周期方波序列
由傅立叶级数系数的公式式(4.4)可得：
(4.5)
(4.6)