发布时间 : 星期三 文章中考数学专题讲解 知识点35 相似、位似及其应用2019更新完毕开始阅读
23.（2019安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.P为△ABC内部一点，且 ∠APB=∠BPC=135°.
（1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA=2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3. 求证：h12= h2·h3. A C P B 【解题过程】解：（1）证明：在△ABP中，∠APB=135°，∴∠ABP+∠BAP=45°， 又△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=45°，即∠ABP+∠CBP=45°，
∴∠BAP=∠CBP，又∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC；………………4分 （2）由（1）知△PAB∽△PBC，所以于是，
PAPBAB===2， PBPCBCPAPAPB=·=2，即PA=2PC； ………………9分 PCPBPC（3）如图3，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，则PQ=h1，
CP1h21PR=tan∠PCR==，=，即h3=2 h2，
AP2h32CRh1AB又由△PAB∽△PBC，且=2，故=2，即h1=2h2，
h2BC于是h12=h2·h3.………………14分
PR=h2，PS=h3，在Rt△CPR中，
A S 图C Q P R B 3
1.（2019·重庆B卷）在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E. （1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE的面积；
（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF， 求证：ED－AG=FC.
AEDAGEDB图1CB图2HFC
解：（1）过点E作EN⊥AB，交BA延长线于点N，垂足为N，
在□ABCD中，AD∥BC，AD∥CB，∠D=∠ABC=30°，∴∠ABC=∠EAN=30°；
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=6；
在Rt△AEN中，cos30??32113233EF?，EF?，∴S?ABE?AB?EF??6?．
22222AE（2）延长BE交CD延长线于点M，设AG?x，AB?a，DE?b，CF?c，
∴在□ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且CD=AB?a， ∵AB=AF，∴AF=AB?a，∴GF=a?x， ∵AB∥CD，∴∠ABM=∠M，∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBE，∴∠ABM=∠AEB，∴AE=AB?a； ∵∠AEB=∠DEM，∴∠DEM=∠M，∴DM=DE?b，∴FM=a?b?c，
a2AGABxa??∵AB∥CD，∴，∴，解得：x?；
2a?b?cFGFMa?xa?b?c∵AF⊥DC，∴∠F=90°，∵AE?a，DE?b，DF?a?c，AF?a， ∴AF?DF?AD， ∴a??a?c???a?b?，
222222∴a?2ac?c?2ab?b，
222a2a22ac?bc?c2?c??∴AG+CF=x?c?
2a?b?c2a?b?c2a?b?c22a2?2ac?bc?c2?a?2ac?c??bc2ab?b2?bc????b?DE，∴DE-AG=CF.
2a?b?c2a?b?c2a?b?c
2.(2019·台州)如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F,AP＝FD.
AF的值; AP(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM＝EB,连接MF,求证:MF＝PF;
(3)如图2,过点E作EN⊥CD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ＝AP,连接BQ,BN,将△AQB绕点A旋转,使点Q旋转后的对应点Q'落在AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上,并说明理由.
(1)求
第24题图
【分析】(1)通过相似构造等量解得对应线段AF与FD的长度,来求解它们之间的比例;(2)通过连接PD,构造全等转化∠3与∠1相等,再利用第一问求得的AP的长度得到EP＝EC,从而得到∠1＝∠4,故转化∠3＝∠4,从而证明△PFD≌△FMC;(3)构造三角形,通过证明相似,求得对应线段长度,进行比较,从而得到结论. 解：(1)设AP＝x,则FD＝x,AF＝2－x,
∵在正方形ABCD中,AB∥CD,∴△PAF∽△CDF, ∴
AFPFAP2xx===,∴x2=4-2x, ,∴FDCFCDx2解得x1=5-1,x2=-5-1,
AF2-5-15-1==∵x＞0,∴x=5-1,∴ FD2.5-1(2)连接DP,∵PA＝DF,∠PAD＝∠ADC,AD＝CD,
∴△PAD≌△FDC,∴∠3＝∠2,PD＝FC. 又∵AB∥CD,∴∠1＝∠2. 又∵EC＝5,EB＝EM＝1, ∴MC＝5-1＝FD＝AP.
∴PE＝PA+AE＝5-1+1＝5＝EC.
∴∠1＝∠4,∴∠4＝∠3.
又∵FD＝MC,PD＝FC,∴△PFD≌△FMC,∴PF＝FM.
()
图(1)
(3)如图2,在AD上取一点Q',使AQ'＝AQ,在BN上取一点B',使AB'＝AB,连接B'Q',作B'G⊥AD于点G,交EN于点K,
∵tan∠NBE＝2,AB＝AB'＝2,
∴BB'＝241′2=5,B'N＝BN＝BB'＝5.
55512∵△NB'K∽△NBE,∴B'K＝,KN＝,
5562∴B'G＝,DG＝,
552135∴Q'G＝3－－＝－5. 5566-255在Rt△B'GQ'中,∠B'GQ'＝90°,利用勾股定理可得B'Q'＝, 5而
(5-1?)266-255,∴B'Q'≠BQ,∴点B'不在BN上. 5
图(2)
3.（2019·衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6.∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作
DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F,G. （1）求CD的长。
（2）若点M是线段AD的中点，求
EF的值。 DF（3）请问当DM的长满是什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？