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的关系，求数列?an?的通项an可用公式
类型Ⅴ 构造数列法： ,(n?1)?S1构造两式作差求解。 an???Sn?Sn?1,(n?2)用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n?1和n?2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。
类型Ⅲ 累加法： 形如an?1?an?f(n)型的递推数列（其中f(n)是关
㈠形如an?1?pan?q（其中p,q均为常数且p?0）型的递推式： （1）若p?1时，数列{an}为等差数列; （2）若q?0时，数列{an}为等比数列;
（3）若p?1且q?0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：
法一：设an?1???p(an??),展开移项整理得
?an?an?1?f(n?1)?a?a?f(n?2)?n?1n?2于n的函数）可构造： ?
...???a2?a1?f(1)将上述n?1个式子两边分别相加，可得：
an?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a1,(n?2)
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法： 形如an?1?an?f(n)?an?1?pan?(p?1)?,与题设an?1?pan?q比较系
数（待定系数法）得
??qqq,(p?0)?an?1??p(an?)p?1p?1p?1?an??qqq??p(an?1?),即?an??构成p?1p?1p?1??以a1?q为首项，以p为公比的等比数列.再利用p?1等比数列的通项公式求出?an???q??的通项整理可p?1?得an.
?an?1??f(n)?型的递推数列（其a?n?法二：由an?1?pan?q得an?pan?1?q(n?2)两式
相减并整理得
?ana2?a1为首项，以p为公比的等比数列.求出?a?f(n?1)n?1??an?1?an?的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求?an?1?f(n?2)?na中f(n)是关于的函数）可构造：?n?2 出an.
?...㈡形如an?1?pan?f(n)(p?1)型的递推式： ??a2?a?f(1)⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时： ?1将上述n?1个式子两边分别相乘，可得：
an?1?an?p,即?an?1?an?构成以
an?an?1an?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1)a1,(n?2)
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
法一：设an?An?B?p?an?1?A(n?1)?B?，
B的值，通过待定系数法确定A、转化成以a1?A?B - 8 -
为首项，以p为公比的等比数列?an?An?B?，再利用等比数列的通项公式求出?an?An?B?的通项整理可得an.
bn?anp1b?b?），得：再应用类型Ⅴ㈠的方n?1nqnqq法解决。
⑶当f(n)为任意数列时，可用通法： n?1 在an?1?pan?f(n)两边同时除以p可得到
法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：
an?1?pan?f(n)，an?pan?1?f(n?1)两式相减an得：得：an?1?an?p(an?an?1)?d，令bn?an?1?an?1anf(n)anf(n)?b??b?b?，令，则，nn?1npnpn?1pnpn?1pn?1n在转化为类型Ⅲ（累加法），求出bn之后得an?pbn.
bn?pbn?1?d转化为类型Ⅴ㈠求出 bn，再用类型Ⅲ
（累加法）便可求出an.
⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：
类型Ⅵ 对数变换法： q形如an?1?pa(p?0,an?0)型的递推式： 法一：设an??f(n)?p?an?1??f(n?1)?，通过
待定系数法确定?的值，转化成以a1??f(1)为首项，以p为公比的等比数列?an??f(n)?，再利用等比数列的通项公式求出?an??f(n)?的通项整理可得an.
q在原递推式an?1?pa两边取对数得
lgan?1?qlgan?lgp，令bn?lgan得：
bn?1?qbn?lgp，化归为an?1?pan?q型，求出bn之后得an?10n.（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。
类型Ⅶ 倒数变换法： 形如an?1?an?pan?1an（p为常数且p?0）的递推b法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：
an?1?pan?f(n)——①，an?pan?1?f(n?1)，两
边同时乘以q得anq?pqan?1?qf(n?1)——②，由①②两式相减得an?1?anq?p(an?qan?1)，即
式：两边同除于an?1an，转化为
11??p形式，anan?1化归为an?1?pan?q型求出1的表达式，再求an；
anan?1?qan?p，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出an.
an?qan?1法三：递推公式为an?1?pan?qn（其中p，q均
为常数）或an?1?pan?rq（其中p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以qn?1n还有形如an?1?man的递推式，也可采用取倒数方
pan?q法转化成1?m1?m形式，化归为an?1?pan?qan?1qanp型求出1的表达式，再求an.
an
类型Ⅷ 形如an?2?pan?1?qan型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列{an?an?1}的形式求解。方法为：设an?2?kan?1?h(an?1?kan)，比较
，得：
an?1pan1??n?，引入辅助数列?bn?（其中n?1qqqq
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系数得h?k?p,?hk?q，可解得h、k，于是
②
1111?(?);
(2n?1)(2n?1)22n?12n?111?(a?b);
a?ba?bm?1mm?Cn?1?Cn;
{an?1?kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an?1?pan?q型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an.
5、非等差、等比数列前n项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列?an?为等差数列，数列?bn?为等比数列，则数列?an?bn?的求和就要采用此法.
②将数列?an?bn?的每一项分别乘以?bn?的公比，然后在错位相减，进而可得到数列?an?bn?的前n项和.
③④Cn⑤n?n!?(n?1)!?n!.
⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法 如果一个数列?an?，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1?an?a2?an?1?... ⑸记住常见数列的前n项和： ①1?2?3?...?n?此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法. ⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项an?c
(an?b1)(an?b2)n(n?1); 22②1?3?5?...?(2n?1)?n; ③1?2?3?...?n?2222(a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，
采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设an?1n(n?1)(2n?1). 6?an?b1??an?b2，通分整理后与原式相
第三章：不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a?b?b?a ②（传递性）a?b,b?c?a?c
比较，根据对应项系数相等得??c，从而可得
b2?b1cc11=(?).
(an?b1)(an?b2)(b2?b1)an?b1an?b2
常见的拆项公式有： ①
③（可加性）a?b?a?c?b?c
（同向可加性）a?b,c?d?a?c?b?d （异向可减性）a?b,c?d?a?c?b?d ④（可积性）a?b,c?0?ac?bc
a?b,c?0?ac?bc ⑤（同向正数可乘性）a?b?0,c?d?0?ac?bd （异向正数可除性）a?b?0,0?c?d?a?b
cd111??；
n(n?1)nn?1⑥（平方法则）a?b?0?an?bn(n?N,且n?1) ⑦（开方法则）a?b?0?na?nb(n?N,且n?1)
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⑧（倒数法则）3、几个著名不等式 a?b?0?1111?;a?b?0?? abab2、几个重要不等式 ①a2?b2?2ab?a，b?R?,（当且仅当a?b时取
2a?ba2?b2①平均不等式：?1 ?ab??a?b?122?a，b?R?,（当且仅当a?b时取\?\号）.
?a2?b2. \?\号）. 变形公式：ab?2②（基本不等式）
（即调和平均?几何平均?算术平均?平方平均）. 变形公式：
22?a?b?a?bab??; ??22??2a?b?ab ?a，b?R??,（当2且仅当a?b时取到等号）.
?a?b?变形公式： a?b?2ab ab???.
?2?用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
2(a?b)2a?b?.
222②幂平均不等式：
1a12?a22?...?an2?(a1?a2?...?an)2.
n③二维形式的三角不等式：
x12?y12?x22?y22?(x1?x2)2?(y1?y2)2 (x1,y1,x2,y2?R).
④二维形式的柯西不等式：
a?b?c3?abc(a、b、c?R?)（当且仅当3a?b?c时取到等号）.
④a?b?c?ab?bc?ca?a，b?R?
222(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2(a,b,c,d?R).当且
仅当ad?bc时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：
（当且仅当a?b?c时取到等号）. ⑤a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0) （当且仅当a?b?c时取到等号）.
333(a12?a22?a32)(b12?b22?b32)?(a1b1?a2b2?a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式：
ba??2（当仅当a=b时取等号） abba若ab?0,则???2（当仅当a=b时取等号）
abbb?ma?na?1?? ⑦?aa?mb?nb⑥若ab?0,则其中(a?b?0，m?0，n?0)
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧当a?0时，x?a?x2?a2?x??a或x?a;
(a12?a22?...?an2)(b12?b22?...?bn2)
?(a1b1?a2b2?...?anbn)2.
⑦向量形式的柯西不等式：
设?,?是两个向量，则??????,当且仅当
?是零向量，或存在实数k，使??k?时，等号成
立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设a1?a2?...?an,b1?b2?...?bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则
x?a?x2?a2??a?x?a.
⑨绝对值三角不等式a?b?a?b?a?b.
a1bn?a2bn?1?...?anb1?a1c1?a2c2?...?ancn
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