发布时间 : 星期三 文章通用版2020版高考数学大二轮复习 大题专项练习 分类汇编全集 文更新完毕开始阅读
将x1+x2=2x0,x1x2=-4代入,得????????????? ·????????????? =0. 所以以AB为直径的圆恒过点M.
5.(2019山东潍坊三模)如图,椭圆??2
C:2??2√3+2=1(a>b>0)的离心率为,设
A,B分别为椭圆C的右顶
????2点,下顶点,△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知不经过点A的直线l:y=kx+m(k≠0,m∈R)交椭圆于P,Q两点,线段PQ的中点为M,若
|PQ|=2|AM|,求证:直线l过定点.
(1)解由已知,
??=√3??2??2,??2
??2=1-??2,可得a2=4b2,
又因为S1
△AOB=1,即2ab=1,所以(22
2
??)=4b, 即b2
=1,a2
=4,
所以椭圆C的方程为
??24
+y2=1.
(2)证明由题意知A(2,0),因为|PQ|=2|AM|,
所以AM=PM=QM,所以线段PQ为△APQ外接圆的直径,即????????????? ·????????????? =0,
??=????+??,
联立{??2
4
+??2=1,
得(4k2
+1)x2
+8kmx+4m2
-4=0,
Δ=16×(1+4k2-m2)>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x-8????4??2-4
1+x2=4??2+1,x1·x2=4??2+1,
①
57
又因为????????????? ·????????????? =0,
即x1·x2-2(x1+x2)+y1·y2+4=0, 又y1=kx1+m,y2=kx2+m,
y1y2=k2x1x2+m2+km(x1+x2),
即(k+1)x1·x2+(km-2)(x1+x2)+m+4=0,② 把①代入②,得
4km-4k+4m-4-8km+16km=-(4km+16k+m+4), 即12k+16km+5m=0,
2
2
22
2
2
22
22
2
2
2
2
解得k=-2m或k=-6m,
15
所以直线l的方程为y=-m(x-2)或y=-mx-2
6
1565
,
所以直线l过定点
65
,0或(2,0)(舍去),
综上所述直线l过定点
65
,0.
6.(2019湖北武汉2月调研测试)已知椭圆Γ:
??2
??2
+
??2
=1(a>b>0)的长轴长为??2
4,离心率为.
√22
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)过P(1,0)作动直线AB交椭圆Γ于A,B两点,Q(4,3)为平面上一定点,连接QA,QB,设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值,如果是,则求出该定值;否则,说明理由.
解(1)依题意2a=4,a=2,e=??=
??√2,则2
c=√2,则b2=a2-c2=2,
58
∴椭圆Γ的标准方程为
??24
+
??22
=1.
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB:y=k(x-1),
与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),
??=??(??-1),
由{??2
消y整理可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2
-4=0,显然Δ>0,
4
+
??22
=1,
∴x4??22??2-4
1+x2=2??2+1,x1x2=2??2+1,
从而k??1-3-1)-31+k2=??1-4+??2
-3
??2-4
=
??(??1??4+??(??2-1)-3??=k+3??-33??-3
??+k+ 1-2-41-4??2-4
=2k+(3k-3)·(1
1
??1
-4
+??2-4
)
=2k+(3k-3)·??1+??2-8
????
1??2-4(??1+2)+16
=2k+(3k-3)·4??2-8(2??2+1)
2??2-4-4(4??2)+16(2??2+1) =2k+(3k-3)·-2
3=2,
√6√6当直线AB的斜率不存在时,A1,√6,B1,-√6,则k1+k2=2
-32
2
2
1-4
+
--31-4
=2,
综上所述,k1+k2=2.
B组 能力提升
59
7.(2019黑龙江哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模)已知椭圆C1:
??24
+y2=1的左、
右两个顶点分别为A,B,点P为椭圆C1上异于A,B的一个动点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若动点Q与A,B的连线斜率分别为k3,k4,且k3k4=λk1k2(λ≠0),记动点Q的轨迹为曲线C2. (1)当λ=4时,求曲线C2的方程;
(2)已知点M1,2,直线AM与BM分别与曲线C2交于E,F两点,设△AMF的面积为S1,△BME的面积为S2,若λ∈[1,3],求??1的取值范围.
2
1
??解(1)设P(x0,y0)(x0≠±2),则
??204
+??20=1,
因为A(-2,0),B(2,0),则
??20
??0??0
k1k2=??+·
02??0-2
=
??202??0-4
4
=??2-=-. 44
0
1-
1
设Q(x,y)(x≠±2),
所以k3k4=??+2·??-2=??2-4=λk1k2=-4, ??24
??????2
??整理得+
??2
=1(x≠±2). ??所以,当λ=4时,曲线C2的方程为x+y=4(x≠±2). (2)设E(x1,y1),F(x2,y2).由题意知,
直线AM的方程为:x=6y-2,直线BM的方程为:
22
x=-2y+2.
??24
由(1)知,曲线C2的方程为+
??2
=1(x≠±2), ??联立{
??=6??-2,6??2
消去x,得(9λ+1)y-6λy=0,得y1=9??+1, 22
????+4??=4??,
60