发布时间 : 星期六 文章2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线 2.1 直更新完毕开始阅读
第2章 圆锥曲线 2.1 直线与球的位置关系 2.2 平面与球的关系学
业分层测评 北师大版选修4-1
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学业达标]
一、选择题
1.正方体的表面积是a,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是( ) A.πa 3
B.πa 2
C.πa D.2πa
2
【解析】 设正方体的棱长为x,则a=6x,而球半径R=πa=. 2
【答案】 B
3
x,∴S球=4πR2=3πx22
2.把一个半径为R的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗),两个小球的半径之比为1∶2,则其中较小球半径为( )
1A.R 33C.
25R 5
3B.3R 3
D.
3R 3
【解析】 设较小球半径为r,则另一球半径为2r, 434433
∴πr+π(2r)=πR, 3333
133∴r=R,∴r=R.
93
3
【答案】 B
3.(全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,
BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )
【导学号:96990046】
A.4π C.6π
B.D.
9π
232π
3
5
6+8-10
【解析】 设球的半径为R,∵△ABC的内切圆半径为=2,∴R≤2.又2R≤3,
234?3?39
∴R≤,∴Vmax=π??=π.故选B.
23?2?2
【答案】 B
4.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥轴截面为正三角形)的体积之比为( ) A.2∶3∶5 C.3∶5∶8
B.2∶3∶4 D.4∶6∶9
【解析】 设球的半径为1,则球的外切圆柱的底面半径为1,高为2;球的外切等边42
圆锥的底面半径为3,高为3,所以球的体积为V1=π,圆柱的体积为V2=π×1×2=2π,
3142
圆锥的体积为V3=×π(3)×3=3π,所以V1∶V2∶V3=π∶2π∶3π=4∶6∶9.
33
【答案】 D
1
5.球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小
6圆的周长为4π,那么球的半径为( )
A.43 C.2 【答案】 B 二、填空题
6.平面α与球O相交,交线圆圆心为O1,若OO1=3,交线圆半径为4,则球O的半径为________.
【解析】 设球O的半径为R,由题意知R=3+4=25,∴R=5. 【答案】 5
7.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是________. 【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直,说明三棱锥的三条侧棱两两垂直,设其外接球的半径为R,则有(2R)=(3)+(3)+(3)=9,
∴外接球的表面积为S=4πR=9π. 【答案】 9π
8.如图2-1-7所示,已知球O的面上四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=3,则球O的体积等于________.
2
2
2
2
22
2
2
B.23 D.3
5
图2-1-7
【解析】 ∵DA⊥平面ABC,BC?平面ABC,AC?平面ABC, ∴DA⊥BC,DA⊥AC. 又BC⊥AB,AB∩DA=A, ∴BC⊥平面ABD, ∴BC⊥DB,
则DC的中点即为球心O. 又DA=AB=BC=3, ∴AC=6,DC=3,
4?3?9π
∴球O的体积V球=π??=.
3?2?2【答案】
9π 2
3
三、解答题
9.已知半径为R的四个球两两相切,下面三个球与桌面相切,求上面一个球的球心到桌面的距离.
【解】 设四个球的球心分别为O1,O2,O3,O4,将它们两两连接恰好组成一个正三棱锥,各棱长均为2R,如图作O1H⊥面O2O3O4,垂足为H,则O1H为棱锥的高.
23连接O4H,则O4H=R.
3∵△O1HO4为直角三角形, ∠O1HO4=90°, 26
∴O1H=R,
3
∴从上面一个球的球心到桌面的距离为?
?26?
+1?R. ?3?
10.若正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上,求这个正四面体的高. 【解】 如图,设正四面体边长为x,设球半径为R. ∴AH=
3
x,4πR2=36π. 3
5
∴R=3,在Rt△AHS中,
SH2=SA2-AH2,
∴SH=x-?
2
2
?3?222
x?=x, ?3?3
?? ?2?2?3?2
x-R?+?x?=9, 3??3?
∴x=26
∴SH=4,故正四面体的高为4.
能力提升]
1.半径为R的三个球两两外切放置桌面上,与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上,则小球的半径为( )
A.R 1C.R 3【答案】 C
2.某管理员为加强对体育组环境的管理,订做了半径为2R,高为20R的圆柱形筐(有盖也有下底),用来盛放半径为R的篮球,则该筐最多可放篮球的个数为( )
A.12 C.24
B.13 D.26 1B.R 22D.R 3
【解析】 设A,B为同一层球的球心,C,D为相邻一层的球心,这四个球心A,B,C,D的连线刚好构成一个正四面体,相邻两层之间距离即为正四面体对棱之间的距离EF(如图所示).
易求得EF=2R,
20R-2R=12.7. 2R共13个“间隔”,即共放了13层, ∴13×2=26.
∴该筐最多可放篮球的个数为26. 【答案】 D
3.如图2-1-8所示,一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并向容器内注水,使水面恰与铁球相切,将球取出后,则容器内的水深是__________.
5