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关于洛必达法则的一些心得
在数学分析中，求极限的方法是多种多样的，其中利导数转化求极限是洛必达法则一大特色。在使用洛必达法则求极限的过程中，一定要检验是否满足洛必达法则的三个条件，但法则成立的条件是比较苛刻的。本文将从法则适用函数极限的类型以及对函数的使用误区两方面进行探讨和研究。
关键词：洛必达法则 极限 使用误区
引 言 洛必达（G.F.A.de L’Hospital,1661-1704）,法国的数学家。1661年出生于法国的贵族家庭，1704年2月2日卒于巴黎。他曾受袭侯爵衔，并在军队中担任骑兵军官，后来因为视力不佳而退出军队，转向学术方面加以研究。他早年就显露出数学才能，在他15岁时就解出帕斯卡的摆线难题，以后又解出约翰伯努利向欧洲挑战的“最速降曲线”的问题。稍后他放弃了炮兵的职务，投入更多的时间在数学研究上，在瑞士数学家伯努利的门下学习微积分，并成为法国新解析的主要成员。洛必达的《无限小分析》（1696）一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范著作，书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，洛必达于前言中向莱布尼茨和伯努利致谢，特别是约翰伯努利。洛必达逝世后伯努利发表声明称该法则及许多其他发现应该归功于他（即伯努利）。洛必达的著作尚盛行于十八世纪的圆锥曲线的研究。他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》（1696），这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面的阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播新创建的微积分理论起了很大作用。在书中第九章记载着约翰伯努利在1694年7月22日告诉他的一个著名定理：[洛必达法则]，即求一个当分子和分母都趋于0时的分式的极限的法则。后人误以为是他发明的，故[洛必达法则]之名沿用至今。洛必达还写过几何、代数及力学方面的文章，他亦计划写作一本关于积分学的教科书，但由于他过早去世，因此这本积分学教科书未能完成。而遗留的手稿于1720年巴黎出版，名为《圆锥曲线分析论》。
洛必达法则是数学分析中用于求未定式极限的一种较普遍的有效方法，灵活地运用洛必达法则也是我们自身数学能力的体现，具有重要的应用价值。而洛必达法则在计算未定式极限中扮演者十分重要的角色。这是因为对于未定式极限来讲其极限是否存在、等于多少是不能用极限的四则运算法则计算出来的。而通过对分子分母分别求导再求极限的洛必达法则能够很有效地计算出未定式的极限。也就是说，洛必达法则，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
正 文 洛必达法则的具体内容为： 1.0/0型：
洛必达法则1：若函数f(x)与g(x)满足下列条件：
（1） 在a的某去心邻域
?(a)可导，且g’(x)≠0；
0（2） limf(x)=0与limg(x)=0;
x?ax?a（3） lim[f’(x)/g’(x)]=l;
x?a则lim [f(x)/g(x))]= lim[f’(x)/g’(x)]=l。
x?ax?a2. ?/?型：
洛必达法则2：若函数f(x)与g(x)满足下列条件： （1） 在a的某去心邻域
?(a)内可导，且g’(x)≠0；
0（2） limf(x)=?且limg(x)=?;
x??x??（3） lim[f’(x)/g’(x)]=l
x??则lim[f(x)/g(x)]= lim[f’(x)/g’(x)]=l
x??x??由定理可知，无论是“0/0”型还是“?/?”型都必须具备一个重要条件，即在自变量的同一过程中，lim[f’(x)/g’(x)]存在（或为?）时，才有lim[f(x)/g(x)]存在（或为?），且lim[f’(x)/g’(x)]= lim[f(x)/g(x)]，但此条件下不便先验证后使用，所以连续多次使用该法则时，每次都要验证它是否为“0/0”型或“?/?”型。
其使用程序如下：lim[f(x)/g(x)](“0/0”)，lim[f’(x)/g’(x)](“0/0”)，…，lim[ fn?1?x?/gn?1?x? ](“0/0”)，若limn?1[f’’(x)/g’’(x)]存在，那么才有式子lim[f(x)/g(x)]= lim[f’(x)/g’(x)]=…=lim[ f?x?/gn?1?x? ]= lim[fn?x?/gn?x?]成立，而上式成立是基于
lim[f(x)/g(x)]，lim[f’(x)/g’(x)]，…，lim[ fn?1?x?/gn?1?x? ]都是“0/0”型未定式，而且
从右到左依次相等，但为了书写方便，在应用此法求极限时，总是习惯从右到左写。这样，如果忽略对条件的验证，就有可能出错。对此，我们只能先使用洛必达法则进行运算之后再进行验证。
例1 求limsin2x?3x。
x?0sinx?2x解： 此极限式为“0/0”型，应用洛必达法则，得
lim(sin2x?3x)'sin2x?3x2cos2x?32*1?3??5 =lim=lim=
x?0sinx?2xx?0cosx?2x?0(sinx?2x)'1?22cos2x?3已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则会导致错误。
x?0cosx?2x?x0上式中lim对于“0/0”型，洛必达法则只有在lim[f'(x)/g'(x)]存在或趋于无穷大时成立，如果无法确定lim[f'(x)/g'(x)]的极限状态或能断定它是振荡无极限，则洛必达法则失效，
x?x0此时需要采用其他方法确定lim[f'(x)/g'(x)]。
x?x0x2sin例2 求limx?0sinx1x。
1112xsin?cosx=limxx 解：此题为“0/0”型。若用洛必达法则，得limx?0sinxx?0cosxx2sin右式振荡无极限，说明洛必达法则在这里失效，等号不成立。但事实上
1x=lim(x*xsin1)?1*0?0 limx?0sinxx?0sinxxx2sin
洛必达定理只能解决“0/0”型及“?/?”型未定式函数极限，而对于某一极限过程中“0*?”、“ ???”、“ 00”、“ 1?”、“ ?0”等5种类型的极限也可经过一定变形，转化为基本类型，再用法则求之。
（1）对于“0*?”型，可将乘积化为除的形式，即化为“0/0”型或“?/?”型；
（2）对于“???”型，可通过通分化为“0/0”型未定式计算；
（3）对于“ 00”、“ 1?”、“ ?0”型，可先化为以e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，转为直接求指数的极限，而指数的极限形式为“0*?”型，再转化为“0/0”型或“?/?”型计算。
例3 求limx(e?1)。
x??1x解：此题属于“0*?”型未定式，将原式中的x写在分母上，使其变成“0/0”型后，
1x应用洛必达法则，即limx(e?1)=limx??(e?1)=limx??x??1x1xe(?1x1)12x=limex=1 x??1?2x例3 求lim(x?111?)（“ ???”型）。 x?1lnx1x211lnx?x?11?)?lim?lim?lim?? 解：lim(x?1x?1x?1(x?1)lnxx?01x?011lnx2lnx?1??2xxx1?1x?可见利用洛必达法则能够解决很多函数极限问题，而且可以将法则与其他方法结合起来同时使用。
结 束 语
洛必达法则是解决求解“0/0”型与“?/?”型极限的一种有效方法，使用洛必达法则时应注意以下几点：
1. 使用对象必须是“0/0”型或“?/?”型，否则不可用本法则；
2. 使用法则时，需要分别求出分子、分母的导数，而不是整个分式的导数； 3. 要及时化简极限符号后面的式子，在化简后检验是否仍为“0/0”型或“?/?”型，
若不是，应立即停止使用洛必达法则；
4. 使用法则时，要尽可能与其他求极限的方法有效结合，尽可能使运算简单化。
参考文献
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