发布时间 : 星期一 文章第5章 微扰理论-量子跃迁更新完毕开始阅读
§6.含时微扰论
??P?V有解析解，并?与t无关，但不能直接求解，而利用H前面，我们解决的是H002m2?(r,p??V?V较小，?)?(r)?E?(r)的近似结果。且H通过微扰法求解H有时也能用试探波函数，10通过变分来获得。
?的本征态?(t)附现在要处理的问题是：体系原处于H（或叠加），而有一与t有关的微扰H01?在一段时间加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使H1?的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。中不变），在H0?的本征态的几率又不随时间变化。当然，有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于H0这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。
?(r,P?)，随t加一微动V(t) ?与t有关，体系原处于HH0i????t?? , H?(t)?H??V(t) ?H0?不显含t，而有 因H0??(r)?E0?(r) H0nnn则 i????t??的通解为 ?H0?iE0n?(r,t)??an?nent? H0的定态
n ??an?(r,t) ?(r,t)??n(r)eiEnt?
而 an是常数
an?(?n(r,t),?(r,t))?(?n(r),?(r,0)) 不随t变
当an??nk时，即t?0，处于?k(r)时
?(r,t)??k(r)e?iEkt???k(r,t)
即微扰不存在时，体系处于定态?k(r,t)上。
?的各本征态（或定态） 的几率将可能当微扰存在时，特别是与t有关时，则体系处于H0随时间发生变化。设
??H??V H0 i????t?? ?H?的定态?展开，但由于?不是H?的定态，所以展开系数是与t有关。 当然，?仍可按Hnn0?(t)??an'(t)?n'(r,t)??an'(t)?n'(r)en'n'?iE0n't?
代人S.eq.，并与?n(r,t)标积，得 i?得方程
i?ddtan(t)??Vnn'en'i(En?En')t?00ddtan(t)?Enan(t)?Enan(t)??Vnn'en'00i(En?En')t?00an'(t)
an'(t)??Vnn'en'i?nn'tan'(t)
0 ?nn'?(E0n?En')?
? Vnn'???*n(r)V(r,t)?n'(r)dr （?n为H0的本征态）
?的本征态?中的几率振幅。实际上，上式是S.eq.?描述的体系，处于Han(t)是t时刻，以Hn0?表象中的矩阵表示，这方程的解依赖初态和V。 在H0假设V很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。令
0)(1)(2)?an?an?? an?a(n则有 i?i?i?ddtan(t)?0
(0)ddtddtan(t)??Vnn'en'(2)(1)i?nn'tan'(t) an'(t)
(1)(0)an(t)??Vnn'en'i?nn't于是有解 a(n0)(t)?An 与t无关
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由初条件t?t0时，体系处于?k(r,t0)??k(r)e?iE An??nk
即
(0)(t)??nk akn0kt0?，即得
于是有
i?ddtan??Vnn'en'(1)i?nn't?n'k?Vnkei?nkt1i?nkt
(1)(t)?? akn1i??t0Vnk(t1)ek(1)tdt1
又由 i?ddtank(2)(t)??Vnn'en'i?nn'tan'(t)
ti?nn1t2i?n1kt1(2) ak(t)?(n1i?1)??tdt2?t2dt1Vnn(t2)e100n12tVn1k(t1)e由此类推
(m) ak(t)?(ni?)m?m1m2?mm?1m2?t0dtm?t0dtm?1??t0dt1
ttt ?Vnnm?1(tm)ei?nnm?1tm?Vnm?1nm?2(tm?1)ei?nm?1nm?2tm?1
??Vn1k(t1)ei?n1kt1
k(i)而 ak(t) n(t)??ani?0
若Vnk很小，即跃迁几率很少，我们只要取一级近似即可，则
(1)(t)? akn1i??t0Vnk(t1)eti?nkt1dt1
?态?(r,t)，在t时刻，体系可处于H?的定态?(r,t)，而其这表明，体系在t0时刻处于Hnk000(1)(t)（n?k）几率振幅为ak。因此，我们在t时刻，测量发现体系处于这一态的几率为 n(1) Pk?n?ak(t)?n21?t?2t0Vnk(t1)ei?nkt12dt1
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例：一线性谐振子，被时间相关的位势所扰动
V(x,t)?P(t)x
P0?而 P(t)?e?(t?)2
t??? （即t0???），体系处于基态。
① 求t???，振子处于第n个激发态的几率？
P0?n?an1?0(1)(t???) P0?22 ????2??nx0e?(t1?)?in?t12dt1
?1?2P0?22nx0??e?n??2224
?P0?2nx02?e2?n??2222
② 当?很大 P0?n?0
我们看到，微扰是渐渐加上，体系经微扰后仍处于基态（没有简并），称Adiabatic
Approximation（当有简并时，并不如此，而是连续地过渡到H(?)时的本征态上）。
③ 当?很小，即微扰在很短时间加上，即在非常快的过程（微
扰施加），则体系状保持不变，这称为Sudden approximation。
因?很小。 P0?n?P0?22nx02?2?0
? 末态?初态。
t?t0 H0 t?t0 H0' ?i ?i 当突然加一外场H0?H?0，波函数不变
??i? ????b?j?j?t?t0jt?t0
? 在H0'的能级?s几率为
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