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2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
一、填空题
1、化简
112?21?123?32?134?43?…?120162017?20172016?1?12017.
解：由
1kk?1?(k?1)k?1k(k?1).(k?1?k)?k?1?kk(k?1)?1k?1k?1可得.
2、若sinx+cosx=
25233,sinx?cosx?. 28(sinx?cosx)2?11??,解:sinxcosx?24sin3x?cos3x?(sinx?cosx)3?3sinxcosx(sinx?cosx)?23252?? 4883、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 3 ．
解：反向考虑，边长为a的正方体（体积为a）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组
3
a3a3,令?1，则a3?3. 成，其体积为334、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率e?12或． 22x2y2解：建立坐标系，设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0),则顶点A1,2?(?a,0),B1,2?(?b,0),焦点
abF1,2?(?c,0)，准线方程为l1,2a2??,其中c?a2?b2,据对称性，只要考虑两种情况：（1）、
ca2a2c1A1(?a,0)关于F2(c,0)的对称点在右准线x?上，?2c,得e??；（2）、 由?a?cca2a2c2a2?2c,得e??. B1(0,b)关于F2(c,0)的对称点在右准线x?上，由横坐标0?ca2c5、函数y??4x?34x2?1的最小值是5．
解：首先，
y??4x?34x2?1??4x?6x?0.又由(y?4x)2?9(4x2?1),即
20x2?8xy?(9?y2)?0,据判别式??64y2?80(9?y2)?0，即y2?5,因y>0,则y?5,此
值在x?15时取得（也可以令.x?1tan?求解）. 222n6、设(1?x?x)?a0?a1x?a2x?…?a2nx，则a2?a4?a6?…?a2nn2n3n?1?．
2解：令x=0，得a0=1,再令x=1，得a0+ a1+ a2+…+ a2n=3,又令x=-1，得a0- a1+ a2+…+ a2n=1，所以
a2?a4?a6???a2n3n?1?.
21121237、将全体真分数排成这样的一个数列{an}：,,,,,,…，排序方法是：自左至右，先将分
233444母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项a2017?1． 65解：按分母分段，分母为k+1的分数有k个，因段，则a2017应是分母为65的第一数，即
63?6464?65?2016,?2080，因2017属于第64221. 658、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列{an}，若an?2017，则n=120. 解：数字和为10的两位数ab有9个；数字和为10的三位数abc：首位数字a可取1，2，…，9中任意一个值，当a取定后，b可取0，1，…，10-a这11-a个数字的任意一个值，而在a,b确定后，c的值就唯一确定，因此三位数的个数是
?(11?a)?54；数字和为10的四位数1abc：a+b+c=9的非负整数
a?19解（a,b,c）的个数是C11?55，数字和为10的四位数2abc共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个. 二、解答题（共70分）
29、（本题满分15分）数列{an}，{bn}满足：a1?b1?1，an?1?an?2bn，bn?1?an?bn(n?1)．
证明：（1）、
a2n?1aaa?2，2n?2；（2）、n?1?2?n?2． b2n?1b2nbn?1bn证明：an?1?2bn?1?(an?2bn)?2(an?bn)??(an?2bn)…①由此递推得
2222n?1an?2bn?(an?1?2bn?1)2?2(an?1?bn?1)2??(an(a12?2b12)?(?1)n?1?2bn?1)???(?1)222222…②
因此a2n?2b2n?0,a2n?1?2b2n?1?0即有
2222a2n?1a?2,2n?2, b2n?1b2n据①得
2222,?bn,?皆为严格递增的正整数数列， an?1?2bn?1?an?2bn…③，由条件知，?an?an?1?an?0,bn?1?bn?0,所以
1an?1?2bn?1?1an?2bn…④
1bn?1?1…⑤ bn将③④⑤相乘得
an?1a?2?n?2 bn?1bn10、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a，b，c使得a3?b3，b3?c3，c3?a3均
是2017的倍数；证明：a?b?c必是a?b?c的倍数． 证：因2017(a3222；又由0?a?b?2017,注意2017为质数，?b3),即2017(a?b（)a2?ab?b2）222…①同理有2017（b?c?bc）…②?b2?ab）则a-b与2017互质，因此2017（a…③，根据②③，20172017（a2?c2?ac）（[a2?c2?ac）?（b2?c2?bc）]，即
，从而2017（a?b?c），因正整数a,b,c皆小于2017，得a+b+c<3*2017,2017(a?b（)a?b?c）因此a+b+c=2017或2*2017.又注意a?b?c与a?b?c同奇偶，故只要证2017（a将①改写为2017[（aa?b?c）?b22222，?b2?c2）2…④，同理有2017（a?bc），?ac）],则知2017（b2?ac）222…⑤，将①②③④⑤式相加，得2017（于是2017（a?b?c），2017（c2?ab）3a2?b2?c2）2从而(a?b?c)（a. ?b2?c2）11、（本题满分20分）设P=｛12，22，32，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n能
够表示为集合P中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n具有P结构．证明：每个自然数n都具有P结构．
证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为： 再考虑区间3,4?22?中的数，其中除了16=4之外，其余的数皆可表示为n?42
2?k(1?k?6)形式；
并且注意到，在1，2，3，4，5，6中每个数的ｐ结构表示中，凡是表示式中42参与时，42皆以正项形
式出现，于是由n?4?k(1?k?6)可知，此时42项便抵消（不会出现2?4的项）；因此，区间3,4222?22?中的数皆具有P结构表示，也就是?4的每个数都具有P结构表示，且其中最大项至多为42，而凡是含有42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得?m的每个数都具有P结构表示，且其中最大项至多为m，而凡是含有m表示中，m皆以正项形式出现（其中m?4），对于区间
2222?m2,(m?1)2中的数，除了最大数可以直接表示为(m?1)2之外，其余元素n皆可表示为：
?n?(m?1)2?k(1?k?2m)，由归纳假设，m?4,且2m?m2，并且此k具有P结构表示，其中
每项皆?m，因此数n具有P结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.
212、（本题满分20分）如图，⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，CD是经过点A的一条线段，其中，
点C，D分别在⊙O1、⊙O2上，过线段CD上的任意一点K，作KM//BD，KN//BC，点M，
N分别在BC，BD上，又向?BCD形外方向，作ME?BC，BF?BD，其中E在⊙O1上，F
在⊙O2上；证明：KE?KF．
证明：设⊙O1、⊙O2的半径分别为r1,r2，由于ABEC共圆，ABFD共圆，得BC而?BAC?2r1sim?BAC,BD?2r2sin?BAD,
BCr1?,于是 BDr2??BAD?180?,所以?BO1C∽?BO2D，根据平行关系得
?CMK∽?KND∽?CBD,所以
MCNKBCr1???,且四边形KMBN为平行四边形，MKNDBDr2BN=MK,延长垂线FN交⊙O2于F1,因
BCr1?,则⊙O1上优BDr2弧BEC与⊙O2上BD所对的优弧DF1B的度数相等，又因M,N分别是两圆对应弦CB、BD上的点，且
CMCMBCr1???,所以⊿CME∽⊿NF1B, ⊿BME∽⊿NF1D,从而⊿BEC∽⊿DF1B,由⊿BEM∽⊿BNMKBDr2