发布时间 : 星期六 文章高考数学二轮复习专题突破训练九第3讲分类讨论思想理(含高考真题)更新完毕开始阅读
∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25， 144|PF1|7
解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.
33|PF2|2若∠F2PF1＝90°， 则|F1F2|＝|PF1|＋|PF2| ＝|PF1|＋(6－|PF1|)， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴
|PF1||PF1|7＝2.综上所述，＝2或. |PF2||PF2|2
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热点三 由参数引起的分类讨论
例
3 (2014·四川改编)已知函数f(x)＝e－
xax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
解 由f(x)＝e－ax－bx－1， 有g(x)＝f′(x)＝e－2ax－b. 所以g′(x)＝e－2a.
因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]． 1
当a≤时，g′(x)≥0，
2所以g(x)在[0,1]上单调递增，
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；
e
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，
2因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b； 1e
当 所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增． 于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 xxx2 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b. 1 综上所述，当a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是 2 g(0)＝1－b； 1e 当 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b； e 当a≥时，g(x)在[0,1]上的最小值是 2 g(1)＝e－2a－b. 思维升华 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏． 已知函数g(x)＝ ＋1)＋g(x)． ax(a∈R)，f(x)＝ln(xx＋1 (1)若函数g(x)过点(1,1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程； (2)判断函数f(x)的单调性． 解 (1)因为函数g(x)过点(1,1)，所以1＝由f′(x)＝ 12＋x＋1x＋1 ＝ 2x，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.1＋1x＋1 a2 x＋3 x＋1 2 ，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0) ＝0，所以切点为(0,0)，故所求的切线方程为y＝3x. (2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋所以f′(x)＝ 1a＋x＋1 axx＋1 (x>－1)， x＋1－axx＋1＋a＝. x＋12x＋12 ①当a≥0时，因为x>－1，所以f′(x)>0， 故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． ??f′x<0， ②当a<0时，由? ?x>－1，? 得－1 故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减； 由? ?f′? x>0， ??x>－1， 得x>－1－a， 故f(x)在(－1－a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增； 当a<0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减， 在(－1－a，＋∞)上单调递增． 分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论． 常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集?的讨论． (2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a>1和0 (3)数列：由Sn求an分n＝1和n>1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论． (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论． (5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论． (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论； (7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论． (8)排列、组合、概率中的分类计数问题． (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等． 2