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反比例函数专题
考点一 反比例函数的定义
k-1一般地，函数y＝或y＝kxkx－1(k是常数，k≠0)叫做反比例函数．
x
kk
1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．
xx2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函
数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.
考点二 反比例函数的图象和性质
k
反比例函数y＝(k≠0)的图象总是关于原点对称的， 它的位
x
置和性质受k的符号的影响．
(1)k＞0?图象(双曲线)的两个分支分别在一、三象限，如图①所示．图象自左向右是下降的?当x＜0或x＞0时，y随x的增大而减小(或y随x的减小而增大)．
(2)k＜0?图象(双曲线)的两个分支分别在二、四象限，如图②所示．图象自左向右是上升的?当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小)．
考点三 反比例函数解析式的确定
由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以． 待定系数法求解析式的步骤：
①设出含有待定系数的函数解析式；
②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程求出待定系数．
考点四 反比例函数中比例系数K的几何意义
kk
反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义：双曲线y＝(k≠0)上任
xx
意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为
|k|. 理由：如图①和②，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得的矩形PAOB的面积S＝PA·PBk＝|y|·|x|＝|xy|；∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积
x11
均为|k|，同理可得S△OPA＝S△AOB＝|xy|＝|k|. 22
考点五 反比例函数的应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
复习巩固：
k
1、(2010·桂林)若反比例函数y＝的图象经过点(－3,2)，则k的值为( )
xA．－6 B．6 C．－5 D．5
k
2、下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y＝的图象上，则不在这个函数图象上的点是( )
x工人路校区67003960 兴华街小区68877776 文化路校区 63611158 桐柏路校区67770660 1
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A．(5,1) B．(－1,5) C．(，3) D．(－3，－)
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3、(2010·宁波)已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是( )
x
A．图象经过点(1,1) B．图象在第一、三象限
C．当x>1时，0 k－1 的图象在每条曲线上，y随x的增大而减小，则k的值可为( ) x A．－1 B．0 C．1 D．2 1 5、反比例函数y＝(x＞0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值( ) x A．增大 B．减小 C．不变 D．先减小后增大 6、 (2010·兰州)已知点(－1，y1)、(2，y2)、(3，y3)在反比例函数y＝ －k2－1 的图象上．下列结论中正确x 的是( ) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y3>y1>y2 D．y2>y3>y1 k 7．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝过点A， x则k的值是( ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 8、(2010·天津)已知反比例函数y＝ k－1 (k为常数，k≠1)． x ①若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值； ②若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； ③若k＝13，试判断点B(3,4)，C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由． 典例分析： k 例1、(2010·眉山)如图，已知双曲线y＝(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB x相交于点C.若点A的坐标为(－6,4)，则△AOC的面积为( ) A．12 B．9 C．6 D．4 3 例2、如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝(x＞0)上的一个动点， x当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会( ) A．逐渐增大 B．不变 工人路校区67003960 兴华街小区68877776 文化路校区 63611158 桐柏路校区67770660 2 C．逐渐减小 D．先增大后减小 例3、如图，已知直线y＝ax＋b经过点A(0，－3)，与x轴交于点C，且与双曲线相交于点B(－4，－a)、点D. (1)求直线和双曲线的函数关系式；(2)求△CDO(其中O为原点)的面积． k 例4、(2010·成都)如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝x＋b的图象在第一象限相交于点A(1，－k x＋4)． ①试确定这两个函数的表达式； ②求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 中考真题： 1、(2010·玉溪)如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是( ) A．第一象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第一、四象限 2、．(2009中考变式题)反比例函数y＝(2m－1)xm2－2，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的值是( ) 1 A．±1 B．小于的实数 C．－1 D．1 2 6 3、．(2010·台州)反比例函数y＝图象上有三个点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，其中x1 x y2、y3的大小关系是( ) A．y1 a 4、(2010·青岛)函数y＝ax－a与y＝(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( ) x 工人路校区67003960 兴华街小区68877776 文化路校区 63611158 桐柏路校区67770660 3 2 5、(2011中考预测题)如图所示，是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象，则关于x的方程kx＋b x 2 ＝的解为( ) x A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝－2，x2＝－1 C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝2，x2＝1 6、(2010·山西)如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB垂直y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为________． 4 7、(2009中考变式题)函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x>0)的图象如图所示，则下列结论： x ①两函数图象的交点A的坐标为(2,2)； ②当x>2时，y2>y1； ③当x＝1时，BC＝3； ④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小． 其中正确的序号是________． 6 8、(2010·泉州)已知点A在双曲线y＝上，且OA＝4，过A作AC垂直x轴于C， x OA的垂直平分线交OC于B. (1)△AOC的面积＝______； (2)△ABC的周长为______． 1k 9、(2010·济宁)如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A点，过 2x A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1. (1)求反比例函数的解析式； (2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA＋PB最小． 工人路校区67003960 兴华街小区68877776 文化路校区 63611158 桐柏路校区67770660 4