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计算机科学系 2010春季学期
《编译原理》第一次作业参考答案
一、 下列正则表达式定义了什么语言（用尽可能简短的自然语言描述）？
1. b*(ab*ab*)*
所有含有偶数个a的由a和b组成的字符串. 2. c*a(a|c)*b(a|b|c)* | c*b(b|c)*a(a|b|c)*
答案一：所有至少含有1个a和1个b的由a，b和c组成的字符串. 答案二：所有含有子序列ab或子序列ba的由a，b和c组成的字符串.
说明：答案一要比答案二更好，因为用自然语言描述是为了便于和非专业的人员交流，而非专业人员很可能不知道什么是“子序列”，所以相比较而言，答案一要更“自然”.
二、 设字母表∑={a,b}，用正则表达式（只使用a，b，?，|，*，+，？）描述下列语言：
1. 不包含子串ab的所有字符串.
b*a*
2. 不包含子串abb的所有字符串.
b*(ab?)* 3. 不包含子序列abb的所有字符串.
b*a*b?a*
注意：关于子串（substring）和子序列（subsequence）的区别可以参考课本第119页方框中的内容.
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《编译原理》第二次作业参考答案
一、 考虑以下NFA：
1. 这一NFA接受什么语言（用自然语言描述）？
所有只含有字母a和b，并且a出现偶数次或b出现偶数次的字符串. 2. 构造接受同一语言的DFA.
答案一（直接构造通常得到这一答案）：
1
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答案二（由NFA构造DFA得到这一答案）：
二、 正则语言补运算
3. 画出一个DFA，该DFA恰好识别所有不含011子串的所有二进制串.
1. 画出一个DFA，该DFA恰好识别所有不含011子串的所有二进制串.
2
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规律：构造语言L的补语言L’的DFA，可以先构造出接受L的DFA，再把这一DFA的接受状态改为非接受状态，非接受状态改为接受状态，就可以得到识别L’的DFA. 说明：在上述两题中的D状态，无论输入什么符号，都不可能再到达接受状态，这样的状态称为“死状态”. 在画DFA时，有时为了简明起见，“死状态”及其相应的弧（上图中的绿色部分）也可不画出. 2. 再证明：对任一正则表达式R，一定存在另一正则表达式R'，使得L(R')是L(R)的补集.
证明：根据正则表达式与DFA的等价性，一定存在识别语言L(R)的DFA. 设这一DFA为M，则将M的所有接受状态改为非接受状态，所有非接受状态改为接受状态，得到新的DFA M’. 易知M’识别语言L(R)的补集. 再由正则表达式与DFA的等价性知必存在正则表达式R’，使得L(R’)是L(R)的补集.
三、 设有一门小小语言仅含z、o、/（斜杠）3个符号，该语言中的一个注释由/o开始、以o/结束，并且注释
禁止嵌套.
1. 请给出单个正则表达式，它仅与一个完整的注释匹配，除此之外不匹配任何其他串. 书写正则表达式时，
要求仅使用最基本的正则表达式算子（?，|，*，+，？）. 参考答案一：/o(o*z|/)*o+/
思路：基本思路是除了最后一个o/，在注释中不能出现o后面紧跟着/的情况；还有需要考虑的是最后一个o/之前也可以出现若干个o.
参考答案二（梁晓聪、梁劲、梁伟斌等人提供）：/o/*(z/*|o)*o/
2. 给出识别上述正则表达式所定义语言的确定有限自动机（DFA）. 你可根据问题直接构造DFA，不必运用机
械的算法从上一小题的正则表达式转换得到DFA.
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《编译原理》第三次作业参考答案
一、 考虑以下DFA的状态迁移表，其中0，1为输入符号，A~H代表状态：
0 1 3
计算机科学系 2010春季学期
A B C D E F G H
B A D D D G F G A C B A F E G D 其中A为初始状态，D为接受状态，请画出与此DFA等价的最小DFA，并在新的DFA状态中标明它对应的原DFA状态的子集.
说明：有些同学没有画出状态H，因为无法从初始状态到达状态H. 从实用上讲，这是没有问题的. 不过，如果根据算法的步骤执行，最后是应该有状态H的.
二、 考虑所有含有3个状态（设为p，q，r）的DFA. 设只有r是接受状态. 至于哪一个状态是初始状态与本问题
无关. 输入符号只有0和1. 这样的DFA总共有729种不同的状态迁移函数，因为对于每一状态和每一输入符号，可能迁移到3个状态中的一个，所以总共有3^6=729种可能. 在这729个DFA中，有多少个p和q是不可区分的（indistinguishable）？解释你的答案.
解：考虑对于p和q，在输入符号为0时的情况，在这种情况下有5种可能使p和q无法区分：p和q在输入0时同时迁移到r（1种可能），或者p和q在输入0时，都迁移到p或q（4种可能）. 类似地，在输入符号为1时，也有5种可能使p和q无法区分. 如果再考虑r的迁移，r的任何迁移对问题没有影响. 于是r在输入0和输入1时各有3种可能的迁移，总共有3*3=9种迁移.
因此，总共有5*5*9=225个DFA，其中p和q是不可区分的.
三、 证明：所有仅含有字符a，且长度为素数的字符串组成的集合不是正则语言.
证明：用反证法.
假设含有素数个a的字符串组成的集合是正则语言，则必存在一个DFA接受这一语言，设此DFA为D. 由于D的状态数有限，而素数有无限多个，所以必存在两个不同的素数p和q（设p 考虑仅含有字母a，长度为p+p(q-p)的字符串T. T从初始状态出发，经过p个a到达状态s，再经过(q-p)个a仍然到达s；同样，经过p(q-p)个a后仍然到达s. 因此，从初始状态出发，经过p+p(q-p)个a后必然到达状态s. 由于p+p(q-p)=p(q-p+1)是合数，而s为接受状态，因而得出矛盾. 原命题得证. ~\\(≧▽≦)/~ ~\\(≧▽≦)/~ ~\\(≧▽≦)/~ ~\\(≧▽≦)/~ ~\\(≧▽≦)/~ ~\\(≧▽≦)/~ ~\\(≧▽≦)/~ ~\\(≧▽≦)/~ 4