发布时间 : 星期日 文章(完整word)高中数学解三角形知识点汇总及典型例题,推荐文档更新完毕开始阅读
解析：由A+B+C=π，得B+CπAB+CA= －，所以有cos =sin。 22222B+CAAA1232AcosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin + 2sin=－2(sin － )+ ； 2222222A1πB+C3当sin = ，即A= 时, cosA+2cos取得最大值为。 22322点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。 题型6：正余弦定理的实际应用 例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔003075的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，02?1.414，6?2.449） 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ???????在△ABC?ACsin6032?6ABAC?,?,?即AB= sin?BCAsin?ABCsin1520中，32?6?0.33km。因此，BD= 20故B，D的距离约为0.33km。 点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。 三、思维总结 1．解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。 2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，b3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，?a?cosC?c?cosA，… A?B?sinA?sinB，… 4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 三、课后跟踪训练 1.（2010上海文数18.）若△ABC的三个内角满足 sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC （ ） （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sinA:sinB:sinC?5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13 52?112?132 由余弦定理得cosc??0，所以角C为钝角 2?5?112.（2010天津理数7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2?b2?3bc，sinC?23sinB，则A=( ) （A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500 【答案】A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。 由正弦定理得 c23b??c?23b， 2R2Rb2+c2-a2?3bc?c2?3bc?23bc3?所以cosA==，所以A=30?2bc2bc2bc23.（2010湖北理数）3.在?ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB= A －0 【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。 2222 B C －6 D 6 3333【答案】D ab15103??sinB?【解析】根据正弦定理可得解得，又因为b?a，则B?A，sinAsinBsin60osinB3故B为锐角，所以cosB?1?sinB?26，故D正确. 34.（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，oa?b知，A?B?60o，则A?30， 131?．由o，即sinA?sinAsin602C?180o?A?B?180o?30o?60o?90o，sinC?sin90o?1 5（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则为. 解析 设?A??,?由锐角?ABC得0又0ooAC的值等于 ， AC的取值范围cosAB?2?.由正弦定理得 ?2??90o?0o???45o， ?180o?3??90o?30o???60o， 23， ?cos??22故30o???45o?6.（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、且sinc，已知a2?c2?2b，AcosC?3cosAsinC, 求b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sina2?c2?2b左侧是二次的AcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法：在?ABC中则QsinAcosC?3cosAsinC,由正弦定理及余弦定理a2?b2?c2b2?c2?a2?3gc,有:ag2ab2bc （角化边） 化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知a?c?2b?4b?b. 222解得b?4或b?0(舍）. 7．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanA?tanC?3tanAtanC的值。 2222解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°， ACA?CA?Ctan?tan从而＝60°，故tan?3.由两角和的正切公式，得22?3。 22AC1?tan2tan2所以tanA?tanC?3?3tanAtanC, 2222tanACAC?tan?3tantan?3。 2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。 8.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA?510 ,sinB?510（I）求A?B的值；（II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。 解（I）∵A、B为锐角，sinA?510 ,sinB?510∴ cosA?1?sin2A?∵ 0?25310 ,cosB?1?sin2B?510A?B??,∴ A?B??4 （II）由（I）知C?3?，∴ sinC?2 24由abc得 ??sinAsinBsinC2b,c?5b 5a?10b?2c，即a?又∵ a?b?2?1 ∴ 2b?b?2?1 ∴ b?1 2,c?5 ∴ a?9.（2010陕西文数17）（本小题满分12分） 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长. 解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得