发布时间 : 星期二 文章2018_2019学年高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程讲义含解析新人教A版更新完毕开始阅读
C．2π
3D.π 2
解析：选A ∵在点(－a,0)中，x＝－a，∴－a＝acos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π.
??x＝2cos θ，2．参数方程?
?y＝sin θ?
(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形
分别是( )
A．圆和直线 C．椭圆和直线
B．直线和直线 D．椭圆和圆
??x＝2cos θ，
解析：选D 对于参数方程?
??y＝sin θ
(θ为参数)，
利用同角三角函数关系消去θ化为普通方程为＋y＝1，表示椭圆．
4ρ＝－6cos θ两边同乘ρ， 得ρ＝－6ρcos θ， 化为普通方程为x＋y＝－6x， 即(x＋3)＋y＝9.
表示以(－3,0)为圆心，3为半径的圆．
??x＝4cos θ，
3．椭圆?
?y＝3sin θ?
2
2
2
2
2
x2
2
(θ为参数)的左焦点的坐标是( )
B．(0，7) D．(－4,0)
A．(－7，0) C．(－5,0)
??x＝4cos θ，
解析：选A 根据题意，椭圆的参数方程?
?y＝3sin θ?
(θ为参数)化成普通方程为
＋＝1，
169
其中a＝4，b＝3，则c＝16－9＝7， 所以椭圆的左焦点坐标为(－7，0)．
??x＝cosθ－1，
4．两条曲线的参数方程分别是?2
?y＝1＋sinθ?
2
x2y2
(θ
??x＝3cos t，
为参数)和?
?y＝2sin t?
(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0 C．0或1
??x＝cosθ－1，
解析：选B 由?2
??y＝1＋sinθ，
2
B．1 D．2
得x＋y－1＝0(－1≤x≤0， 1≤y≤2)，
??x＝3cos t，由???y＝2sin t
得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
94
x2y2
二、填空题
??x＝5cos θ，
5．椭圆?
?y＝4sin θ?
(θ为参数)的离心率为________．
解析：由椭圆方程为＋＝1，可知a＝5，b＝4，
2516
x2y2
c322
∴c＝a－b＝3，∴e＝＝. a5
3答案： 5
??x＝3cos θ，
6．已知P为曲线C：?
?y＝4sin θ?
(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为坐标原点，
π
若直线OP的倾斜角为，则点P的坐标为________．
4
解析：曲线C的普通方程为＝x，
y2
16
＋＝1(0≤y≤4)，易知直线OP的斜率为1，其方程为y9
x2
y＝x，??22
联立?yx＋＝1，??169
16×92
消去y，得x＝，
25
1212?12?故x＝?x＝－舍去?，故y＝， 55?5?
?1212?所以点P的坐标为?，?. ?55?
答案：?
?12，12?
??55?
??x＝2cos φ，
7．已知椭圆的参数方程为?
?y＝4sin φ?
(φ为参数)，点M在椭圆上，对应的参数
π
φ＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
3
π
x＝2cos ＝1，??3π
解析：当φ＝时，?3π
y＝4sin ＝23，??3
故点M的坐标为(1,23)．所以直线
OM的斜率为23.
答案：23 三、解答题
?x＝5cos θ，
8．已知两曲线的参数方程分别为?
?y＝sin θ
∈R)，求它们的交点坐标．
5??x＝t2，
(0≤θ<π)和?4
??y＝t
(t?x＝5cos θ
解：将?
?y＝sin θ
x2
5
2
(0≤θ＜π)化为普通方程得：
＋y＝1(0≤y≤1，x≠－5)，
5254242
将x＝t，y＝t代入得，t＋t－1＝0，解得t＝，
4165255254∴t＝，x＝t＝×＝1，
5445
?25?∴两曲线的交点坐标为?1，?.
5??
??x＝3cos θ，
9．已知椭圆的参数方程为?
?y＝2sin θ???x＝2－3t，
?
?y＝2＋2t?
(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线
(t为参数)的最短距离．
??x＝2－3t，
解：设点P(3cos θ，2sin θ)，直线?
?y＝2＋2t?
13
可化为2x＋3y－10＝0，点P到
直线的距离d＝
?62sin ?θ＋π?－10????4?|6cos θ＋6sin θ－10|????
13
＝
π??.因为sin?θ＋?∈
4??
[－1,1]，所以d∈?
?10－6210＋62?10－62
，. ?，所以点P到直线的最短距离dmin＝131313??
x2y2
10．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与x轴正半轴交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OPab⊥AP(O为原点)，求离心率e的取值范围．
??x＝acos θ，
解：设椭圆的参数方程是?
?y＝bsin θ?
(θ为参数)(a＞b＞0)，则椭圆上的点
P(acos θ，bsin θ)，A(a,0)．
∵OP⊥AP，∴
2
2
bsin θbsin θ
·＝－1，
acos θacos θ－a2
2
2
即(a－b)cosθ－acos θ＋b＝0. 解得cos θ＝b2
a2－b2
或cos θ＝1(舍去)．
∵a＞b，－1≤cos θ≤1，∴0＜
2
2
2
b2
a2－b2≤1.
a2－c2
把b＝a－c代入得0＜2≤1.
c12
即0＜2－1≤1，解得≤e＜1.
e2故椭圆的离心率e的取值范围为?
?2?
，1?. ?2?