发布时间 : 星期四 文章近几年全国物理竞赛复赛力学更新完毕开始阅读
31mglsin??mglsin??N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 22（3）
式中CF待求.F是过C的竖直线与过B的水平线的交点，E为BF与CD的交点．由几何关系有
CF取杆CD为研究对象，由平衡条件有
N4?N2cos??f2sin??0 （5）
?lsin?cot? （4）
N2sin??f2cos??mg?0 以及对C点的力矩
N4lcos??12mglsin??0 解以上各式可得
N4?12mgtan? N??31??2tan??sin?1tan?sin?3?2tan??cos??2sin???mg（9）
f3tan?sin?1tan?sin??1????2?cos??2sin???mg
N1?2mg N?12???sin??2tan?cos????mg f?12???cos??2tan?sin????mg CD杆平衡的必要条件为
f2??cN2 由（12）、（13）、（14）式得
tan??2??Csin??cos??? Ccos??sin?AB杆平衡的必要条件为
（6） （7）
（8） （10） 11）
12） （13） 14）
（15） （（ （ f1??AN1 (16)
由（10）、（11）、（16）式得
tan?sin?2sin???4?A?3tan?
sin?cos?（17）
因此，使系统平衡，?应满足的条件为（15）式和（17）式．
2．将题给的数据代入（15）式可得
??arctan0.385?21.1 (18)
将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得
???19.5? (19)
因此，?的取值范围为
19.5o???21.1o (20)
5. 由于碰撞时间?t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A、C、D的速度分别为vA、vC、vD，显然有
vD?2lvCr. (1)
以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒
mvD2l?mvCr?mvA2l?mv02l. (2)
由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间?t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故
由 (1)、(2)、(3) 式解得
12121212mvD?mvC?mvA?mv0. (3) 22224lr8l2r2vC?22v0,vD?22v0,vA??22v0 (4)
8l?r8l?r8l?r[代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点 v0?vD?vA.
(3’)
同样可解出(4). ]
设碰撞过程中D对A的作用力为F1?，对A用动量定理有
4l2?r2F1??t?mvA?mv0??222mv0, (5)
8l?r方向与v0方向相反. 于是，A对D的作用力为F1的冲量为
4l2?r2F1?t?222mv0 (6)
8l?r方向与v0方向相同.
以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为x，则 x?mr?m2l2l?r.
?(??2)m??2(7)
质心在碰后瞬间的速度为
v?vC4l(2l?r)x?v0. 22r(??2)(8l?r)(8)
轴与杆的作用时间也为?t，设轴对杆的作用力为F2，由质心运动定理有 F2?t?F1?t????2?mv?4l(2l?r)mv0. 228l?r(9)
由此得
l?r) F2?t?r(22mv0.
8l2?r2(10)
方向与v0方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为 F2??t??r(2l?r)2mv0, 228l?r(11)
方向与v0方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.
[代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理
F2?t?F1?t?mvC?mvD. ]
[也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. ]
(2.) 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度vC?向心力，即
4lrv绕过B的轴做匀速圆周运动的2208l?r
2vC16l2r2k?r?l??m?222mv0(12) r(8l?r)
则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块A的速度v0应满足的条件
(8l2?r2)k?r?l?v0?4lmr
(13)
可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A的速度大小v0应满足(13)式. 6.解法一
一倾角为?的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有
m h
u图1
? tan??可得
πR1? （1） 2πR2sin??
525，cos?? （2） 55设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为?，则环上每一质量为?mi的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u表示，
u??R （3）
该小质元对转轴的角动量 整个螺旋环对转轴的角动量
L???Li???miR2??mR2? （4）
小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成．在螺旋环的角速度为?时，设小球相对螺旋环的速度为v?，则小球在水平面内作圆周运动的速度为
vP?v?cos???R
（5）