发布时间 : 星期一 文章2021高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第五章 5.2 平面向量基本定理及坐标表示更新完毕开始阅读
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→→
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. (2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0. 概念方法微思考
1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示 不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样． 2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示 不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量． →→→
3．已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若OA＝xOB＋yOC，写出x，y的关系式． 提示 x＋y＝1.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( × )
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ ) x1y1
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( × )
x2y2(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) 题组二 教材改编
2．已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________． 答案 (1,5)
→→
解析 设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
???4＝5－x，?x＝1，即?解得? ??1＝6－y，y＝5.??
m
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.
n1
答案 －
2
解析 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb与a－2b共线， 得
2m－n3m＋2nm1
＝，所以＝－. 4n2－1
4．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A.AB→＝3AC→ B.DA→＝－2CD→
C.AC→＋BD→
＝0 D.BC→＝AD→
答案 ABC 题组三 易错自纠
5．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案 0
6．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→
＝________. 答案 (－7，－4)
解析 根据题意得AB→
＝(3,1)，
∴BC→＝AC→－AB→
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
7．(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为( A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案 B
解析 b＝2a＋b－2a＝(2,1)， ∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.故选B.
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