发布时间 : 星期三 文章高中数学立体几何经典题型的解法更新完毕开始阅读
111??1uuuv(x,y,1)?(0,,)?0y??0???n?EF?0222???2由?uuu， ????v??(x,y,1)?(2,?1,0)?0?2x?y?0?n?AE?0???2?2??y??1解得?. 于是n?(?2,?1,1).
??x??2uuuvuuuv 设AC与面AEF所成的角为?，AC与n的夹角为?AC,n?.
uuuv(2,?1,0)?(?2,?1,1)AC?nuuuv3则sin??cos?AC,n??uuu. ??v62?1?02?1?1AC?n得??arcsin
3. 63. 6所以，AC与平面AEF所成角的大小为arcsinr点评：设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条斜线，则AB与平面?所成的角
uuurruuurrAB?nAB?n?为?arccosuuurr，或者arcsinuuurr。 2AB?nAB?n例7：
解：建立如图所示空间直角坐标系C?xyz，取PB的中点D， 连DC,可证DC?PB，
P z
E x D A C uuuruuur作AE?PB于E，则向量DC与EA的夹角的大小为
二面角A?PB?C的大小。
QA(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),P(1,0,1)，D为PB的中点，
121PEAP21?(,,)，在RtVPAB中，??，
222EBAB23uruuur323uu1231,)?EA?(,?,?) ?E分PB的比为，?E(,4444443B y uuuruuuruuur1uuur1213DC?(?,?,?)，EA?DC?,EA?，
222221uuuruuuruuur33，?二面角A?PC?C的大小为arccos DC?1,cos?EA,DC??2?333?12 例8：
解：如图建立直角坐标系，
z 1则B(0,1,0),D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1)
2uuuruuuruuur11AD?(,0,0),SC?(1,1,?1),SD?(,0,?1)22S ，
B y C QSA?平面ABCD,?AD?平面SAB uuur所以AD是平面SAB的一个法向量。设平面SCD的一
r个法向量n?(x,y,z)
A D x ruuurruuur?x?y?z?0???x?2z??n?SC?n?SC?0??由?ruuu，??1 r,??ruuury??zx?z?0??n?SD?n?SD?0????2uuurruuurruuurrr2AD?n6,?tan?AD,n??令z?1,n?(2,?1,1)，?cos?AD,n??uuu rr?23AD?n平面SCD与平面SAB所成的二面角的正切值为
2 2点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角
uruur问题，（1）当法向量n1与n2的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向uruur量n1与n2的夹角的大小。
uruur（2）当法向量n1与n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向uruurruur量n1与n2的夹角的补角???n1,n2?。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。 例9：
解：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AC、BC、C1C两两垂直，
如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（
3，2,0） 2（1）∵AC＝（－3,0，0），BC1＝（0，－4,0），∴AC?BC1＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.
3，0,2），AC1＝（－3,0，4）， 2uuur1uuuur∴DE?AC1，∴DE∥AC1.
2∵DE＝（－
∵ DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1； 点评：平行问题的转化：
转化
面面平行线面平行
转化
线线平行；
例10．
解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1
分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），
A（1，0，0）C（0，2，0） （1）
D1A1DAEBB1C1C因为DA1,D1E?(1,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E.
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)，
ruuur??n?AC?0, AD1?(?1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)，则?ruuuur??n?AD1?0,也即???a?2b?0?a?2b，得?，从而n?(2,1,2)，所以点E到平面AD1C的距离为
??a?c?0?a?c?2?1?21?. 33h?|D1E?n||n|（3）设平面D1EC的法向量n?(a,b,c)， ∴CE?(1,x?2,0),D1C?(0,2,?1),DD1?(0,0,1),
ruuuur??n?D1C?0,?2b?c?0??由?ruuu 令b=1, ∴c=2,a=2－x， ra?b(x?2)?0.???n?CE?0,∴n?(2?x,1,2).
ruuuur|n?DD1|?222uuuur???. 依题意cos?r24|n|?|DD1|22(x?2)?5∴x1?2?3（不合，舍去），x2?2?3 . ∴AE=2?3时，二面角D1—EC—D的大小为
四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。 例11．
解
：
直
三
棱
柱
Z ?. 4ABC?A1B1C1，
C1 A1 B1 C AC?3,BC?4,AB?5,AC,BC,CC1两两垂直，以
C为坐标原点，
直线CA,CB,CC1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,4),A(3,0,0),C1(0,0,4)，B(0,4,0),B1(0,4,4)
A x D B y uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur（1）QAC?(?3,0,0),BC1?(0,?4,4)，?AC?BC1?0,?AC?BC1 ?AC?BC
uuuruuur（2）假设在AB上存在点D，使得AC1?CD，则AD??AB?(?3?,4?,0)
uuur其中0???1，则D(3?3?,4?,0)，于是CD?(3?3?,4?,0)