发布时间 : 星期一 文章高三数学汇报课推理与证明—归纳法人教版选修二更新完毕开始阅读
第2课时 数学归纳法2020-11-25
授课班级：高三（9）班 授课人：林福济
教学目标：
1.知识目标
（1）再次了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）复习巩固理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标
（1）通过对数学归纳法的复习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力
和严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生
的创新能力。 3.情感目标
（1）通过对数学归纳法原理的复习探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态
度和不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使
学生喜欢数学。
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
教学重难点
1.重 点
（1）理解数学归纳法的原理。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）会用数学归纳法证明及运用。
2.难 点
（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
教学方法：类比启发探究式教学方法 教学过程：
（一）、 主要知识及主要方法：
1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般.
2.不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完
全归纳法 3.完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法
4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：
先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n?k(k?N，k≥n0)时命题成立，证明当n?k?1命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
*5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n?n0时，
命题成立，再假设当n?k(k?N，k≥n0)时，命题成立 (这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n?k?1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0?1，n0?2，…，命题都成立
*6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
?1?证明：当n取第一个值n0结论正确；?2?假设当n?k(k?N*，k≥n0)时结论正确，
证明当n?k?1时结论也正确由?1?，?2?可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正
确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
7.?1?用数学归纳法证题时，两步缺一不可；?2?证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二
凑目标.
（二）、题型讲解：
题型一、用数学归纳法证明等式 例1． 用数学归纳法证明：n?N时，
?111n??L?? 1?33?5(2n?1)(2n?1)2n?1点评：用数学归纳法证明，一是要切实理解原理，二是严格按步骤进行，格式要规范，从
n=k到n=k+1时一定要用归纳假设，否则不合理。
变式1.用数学归纳法证明1?11111111???L????? 2342n?12nn?1n?22n
题型二、用数学归纳法证明不等式
例2.证明
111??L??1,(n?N) n?1n?23n?1点评：用数学归纳法证明不等式，推导n=k+1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较
法、分析法、综合法均要灵活运用，在证明的过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩建立关系。同时在数学归纳法证明不等式里应特别注意从n=k到n=k+1过程中项数的变化量，容易出错。
变式2.若不等式
1111a对一切正整数n都成立，求正整数???L??n?1n?2n?33n?124a的最大值，并证明你的结论。
题型三、用数学归纳法证明整除问题
例3.用数学归纳法证明：(3n?1)?7?1,(n?N)能被9整除。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩下的式子也能被某式（或数）整除，拼凑式关键。
变式3.试证当n为正整数时，f(n)?3
题型四、归纳——猜想——证明 例4.数列?an?满足an?0，Sn?2n?2n??8n?9能被64整除。
11(an?)，求数列?Sn?的通项公式。 2an 分析：如何进行猜想？（试值S1,S2,S3,S4→猜想Sn） → 学生练习用数学归纳法证明
小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）
点评：对于探索性命题，特别是数列的问题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力。
变式4.是否存在常数a,b,c使等式
22222242 1?(n?1)?2?(n?2)?L?n?(n?n)?an?bn?c对一切正整数n成
立？
并证明你的结论。
(三）、小结（师生共同完成）
1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。
2数学归纳法证明命题的两个步骤。
3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。 4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。
5证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。
6书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等
（四）、作业安排：以上变式题的整理及第一方案P183知能提升练习
（五）、课后反思：