发布时间 : 星期六 文章高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学案(无答更新完毕开始阅读
解析 由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|＋|b|＋2a·b＝|b|?2a·b2
2
2
122
＝－|a|?2|a|·|b|·cosθ＝－|a|?cosθ＝－?θ＝120°.
2
2．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于( ) A．－6B．6C．－63D．63
考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 C
3．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于( ) A．16B．256C．8D．64 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 A
解析 ∵|2a＋3b|＝4a＋9b＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16. 4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( ) A．－4B．4C．－2D．2 考点 平面向量的投影 题点 求向量的投影 答案 A
解析 根据投影的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影是|a|cosθ＝＝－4，故选A.
→→→→→→→→→5．已知平面上三点A，B，C，满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于( ) A．－7B．7C．25D．－25
考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 D
解析 由条件知∠ABC＝90°，
所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A) ＝－20cosC－15cosA
43
＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
55
6．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于( )
2
2
2
a·b|b|A．1B．2C．3D．5
考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 A
解析 ∵|a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b＝10，① |a－b|＝(a－b)＝a－2a·b＋b＝6，② 由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.
→→
7．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则AO·AB等于( ) A.6B．6C．12D．18
考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 D
解析 如图，过点O作OD⊥AB于D，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
可知AD＝AB＝3，
2
→→→→→→→→→
则AO·AB＝(AD＋DO)·AB＝AD·AB＋DO·AB＝3×6＋0＝18，故选D. 二、填空题
8．(2020·全国Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 23 解析 方法一 |a＋2b|＝
2a＋2b22
＝a＋4a·b＋4b
＝2＋4×2×1×cos60°＋4×1 ＝12＝23. 方法二(数形结合法)
→
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC|.
2
2
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.
9．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________. 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 9
答案 －
2
→→
10．(2020·四川绵阳南山中学高一月考)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB·AC＝8，则△ABC的形状是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 等边三角形
→→→→
解析 AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC， 1
即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，
2因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
→→
11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若AC·BE＝1，则AB的长为________．
考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 1答案
2
1→→→→→→
解析 如图，由题意可知，AC＝AB＋AD，BE＝－AB＋AD.
2
→→
因为AC·BE＝1，
→→?1→→?
所以(AB＋AD)·?－AB＋AD?＝1，
?2?
→21→→1→
即AD＋AB·AD－AB2＝1.①
22→
因为|AD|＝1，∠BAD＝60°， 1→1→2
所以①式可化为1＋|AB|－|AB|＝1.
421→→
解得|AB|＝0(舍去)或|AB|＝，
21
所以AB的长为.
2
12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则向量a在向量a＋b方向上的投影为________．
考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案
1013
13
2
2
解析 (2a－3b)·(2a＋b)＝4a－3b－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b|＝a＋b＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b|＝13，设a与a＋b的夹角为θ，a·(a＋b)＝a＋a·b＝10， ∴cosθ＝
551013
＝，则a在a＋b方向上的投影为|a|cosθ＝4×＝.
134×1321321310
22
2
2
三、解答题
→→→1→→2→
13．如图，在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，CE＝CB，CF＝CD.
33
→
(1)用a，b表示EF；
→→→
(2)若|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，分别求|EF|和AC·FE的值． 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 →→→2→1→
解 (1)EF＝CF－CE＝CD－CB
332→1→21
＝－AB＋AD＝－a＋b.
3333
(2)因为|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，