发布时间 : 星期一 文章高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学案(无答更新完毕开始阅读
＝1＋9－2a·b＝4，∴a·b＝3. ∴|a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b ＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4.
方法二 ∵|a－b|＝(a－b)＝a－2a·b＋b， |a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b，
∴|a－b|＋|a＋b|＝2a＋2b＝2×1＋2×9＝20. 又|a－b|＝2，∴|a＋b|＝16，∴|a＋b|＝4.
类型三 求向量的夹角
例3 (1)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角
解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°， 11∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×＝.
22|a|＝|2m＋n|＝＝
2m＋n2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
＝4×1＋1＋4m·n
1
4×1＋1＋4×＝7，
2
2n－3m2
|b|＝|2n－3m|＝
＝4×1＋9×1－12m·n ＝
1
4×1＋9×1－12×＝7，
2
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
17＝－6×1＋2×1＝－. 22设a与b的夹角为θ，
a·b1则cosθ＝＝＝－.
|a||b|27×7
2π2π
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为. 33
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a＋b的夹角及a与a－b的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角
→→
解 如图所示，在平面内取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
7
－2
→→使|OA|＝|OB|，
∴四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， →→
这时OC＝a＋b，BA＝a－b.
→→→
由于|a|＝|b|＝|a＋b|，即|OA|＝|AC|＝|OC|， ∴∠AOC＝60°，即a与a＋b的夹角为60°. ∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°， →→
又|OA|＝|OB|，∴∠OAB＝30°， 即a与a－b的夹角为30°.
反思与感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cosθ＝
a·b求出夹角的余弦值，从而求
|a||b|得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．
(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练3 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角
解 ∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|－2|b|＋a·b＝－2. |a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，
2
2
a·b1设a与b的夹角为θ，∴cosθ＝＝，
|a||b|2
π
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
3
π
1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b等于( )
3A．1B．2C．3D．4
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 A
π
解析 a·b＝1×2×cos＝1，故选A.
3
→→
2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝2，则BA·BC的值等于( ) A．－2B．2C．－22D．22
考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 B
解析 →BA·→BC＝|→BA||→
BC|cos∠ABC＝2×2×cos45°＝2.
3．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为( A．4B．－4C．2D．－2 考点 平面向量的投影 题点 求向量的投影 答案 D
解析 向量b在a方向上的投影为 |b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2.
4．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则→BD·→
CD等于( ) A．－32a2
B．－32
4a
C.34
a2 D.322
a 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 D
解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
∴→BD·→CD＝(→BC＋→CD)·→CD ＝→BC·→CD＋→CD2
) 322
＝a·a·cos60°＋a＝a.
2
5．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；(2)|c＋2d|.
考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模
解 (1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a－2b＋3a·b 1
＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9.
2
(2)|c＋2d|＝(4a＋3b)＝16a＋9b＋24a·b 1
＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97，
2∴|c＋2d|＝97.
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，
2
2
2
2
2
2
b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cosθ. (2)b在a方向上的投影为
a·ba·b，a在b方向上的投影为. |a||b|
2
4．两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝a.
一、选择题
1．(2020·辽宁大连二十中高一月考)设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为( ) A．150°B．120°C．60°D．30° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B