发布时间 : 星期五 文章数论(3)23约数，倍数，完全平方数 3更新完毕开始阅读
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教 案
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数论（三） 约数、倍数、完全平方数
【专题知识点概述】
本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，而完全平方数的定义也很容易，故我们讲解的重点放在这些数的性质上,以及如何正确的运用这些性质解决数论问题。
一、最大公约数与最小公倍数的常用性质
(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
即若a?a1?(a,b),b?b1?(a,b),则(a1,b1)?1
(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(a,b)?[a,b]?a?b
注：(a,b)表示两个数的最大公约数，[a,b]表示两个数的最小公倍数 (3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5?6?7?210，210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：6?7?8?336，而6,7,8的最小公倍数为336?2?168
二、约数个数与所有约数的和
(1)求任一合数约数的个数：
一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为23?52?7，所以它的约数有
(3?1)?(2?1)?(1?1)?4?3?2?24个。(包括1和1400本身)
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(2)求任一合数的所有约数的和：
一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：21000?23?3?53?7，所以21000所有约数的和为
(1?2?22?23)(1?3)(1?5?52?53)(1?7)?74880
三、求几个分数的最小公倍数和最大公约数
(1)求几个分数的最小公倍数
求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；
121624例如：求,,的最小公倍数
202430123162244?,?,? 首先将3个分数化为最简分数，
20524330512162412由[3,2,4]?12,(5,3,5)?1，所以[,,]??12，即它们的最小公
2024301倍数是12.
(2)求几个分数的最大公约数
求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.
121624例如：求,,的最大公约数
202430123162244?,?,? 首先将3个分数化为最简分数，
2052433051216241由(3,2,4)?1,[5,3,5]?15，所以(,,)?，即它们的最大公约数
202430151是. 15
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四、完全平方数的性质
1.主要性质：
? 完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 ? 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
? 完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平
方数。
2.一些推论：
? 任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余
1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
? 一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是
完全平方数。
? 自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，
64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 ? 完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶
数。
? 完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
? 凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末
尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾
平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)
【例1】（难度级别 ※）
数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
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【例2】（难度级别 ※）
甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.
【例3】（难度级别 ※※）
一个正整数加上32和132后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
【例4】（难度级别 ※※）
一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?
【例5】（难度级别 ※※）
1甲乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l.那么乙数
8是多少