含界面圆孔双材料矩形板孔边应力集中分析

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东北大学毕业设计(论文) 第2章 界面力学的基本理论

物理关系,可以得到:当界面两侧材料不同时,界面两侧的应力存在不连续性,即:(1)在垂直于界面的方向上(曲面界面为其切平面),界面两侧的正应力一般是不连续的。(2)在垂直于界面的方向上(曲面界面为其切平面),界面两侧的切应力一般是不连续的。(3)在平行于界面的方向上(曲面界面为其切平面),界面两侧的正应力一般是不连续的。

对于二维完全结合界面,可进一步描述为:

?y1??y2,?xy1??xy2,?x1??x2 (2.3)

这些不连续的量之间并不是相互独立的,它们要受式(2.1)的约束。对于图2.1(a)的完全结合界面,有如下的关系:

(?2?1)?x2??(?1?1)?x1??(?1??2)?y (2.4)

7?(?2?1)??13??13??2?y2?1?y2?[??]?x (2.5)

?2?1?1?1?1?1?2?1?xy1???xy2 (2.6)

其中 ??G2/G1 (2.7)

??3?4? (平面应变)

???3????1??? (平面应力) (2.8)

上面各式中,G与?分别为材料的切变模量和柏松比;?为卡帕参数。

2.3.2 剥离界面

当界面处有未结合的部分或者较大的缺陷和洞孔时,即使两侧材料的边界在界面处有相同的几何位移,但是对于两侧是分离的情况,如图2-2(b)所示,要作为剥离界面来处理。在剥离界面上必须满足自由表面条件,即:

23 (2.9) Pi1?Pi2?0,i?1,,对于二维剥离界面,式(2.9)可进一步描述为:

?y1??xy1?0,?y2??xy2?0 (2.10)

为了保证式(2.9)的成立,要求剥离区内的开口位移?v?v1?v2?0,但是这是理想化的条件。事实上,在剥离界面和完全结合界面交界处附近,但是这个要求很难满足。

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并不是所有未结合的部分都可以做剥离界面处理,而要根据实际中的变形情况是否是分离或者接触,选用合适的界面类型。

2.3.3 接触界面

接触界面是指虽然两个材料未结合,但由于外力或者残余应力的作用而接触在一起的界面。变形后的接触界面,分为三个区域:粘着区、滑移区和开口区[26]。粘着区界面上的边界条件和完全结合界面的连续性条件式(2.1)完全相同,界面两侧的材料点在变形之后仍接触在一起。开口区是边界条件和剥离界面的表面自由条件式(2.9)相同,变形前接触在一起的点,变形后就分离了的情况。滑移区则是变形前接触在一起的点,变形后两材料仍接触在一起,但是沿接触面产生一个相对位移的情况,如图2.2(c)所示。

设界面上的面力场和位移场分别为Pi1(x),Pi2(x)和u1(x),u2(x),v1(x),v2(x),在微小滑移和小变形情况下,得到近似的边界条件表达式为:

i1??Pi2,un1?un2,?n1??n2?0,?t1??t2??f?n (2.11) P

式(2.11)中的n表示界面法向方向;?表示界面切线方向;f为接触面处的动摩擦系数,它的正负号要根据相对位移的方向来确定。

以二维接触界面为例,式(2.11)可描述为:

?y1??y2?0 ,v1?v2,

?xy1??xy2??f?y (2.12)

接触界面究竟产生什么样的粘着区、开口区和滑移区,一般要根据结构的具体受力情况,通过反复迭代的方法来确定[27]。

2.4 Dundurs参数

工程中应用最多的是由两种各向同性材料组成的结合材料,这种结合材料的弹性常数,从直观上来讲,由于是两种不同的材料结合在一起,共应有4个弹性常数,即:两个杨氏模量,以及两个泊松比。但是,对于平面问题,这四个材料常数对结合材料应力或变形的影响,并不是相互独立的,而可以用两个新的组合材料参数来描述,称为Dundurs[28]参数,也称异材参数。在平面问题时,Dundurs定义的弹性参数,在 Bogy[29,30]后来的讨论中,可以用下面两个组合参数来表示异材的弹性性能:

???1?k2?1???2?k1?1???k?1???2?k1?1? ??12 (2.13)

?1?k2?1???2?k1?1??1?k2?1???2?k1?1?- 12 -

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其中 ??3?4?(平面应变) ??(平面应力) (3-?)/(1??) ??E/[2(1??)] (2.14) 此处下标1,2对应于材料1和材料2。如果要交换材料1和材料2,则α,β是有变化的。考虑到一般弹性材料的0???0.5,无论从平面应力状态还是从平面应变状态,均可分析Dundurs参数的取值范围。

??1, ??0.5 (2.15)

但上述值域是α,β单独取值时的情况。实际上两者在取极限值时有一定的关系,即在(2.13)式中消去???1?2,可得:

????即

??1??1?? (2.16) ?k2?1k1?1?2??1????2??1????1 平面应变 4?1??2?4?1??1?4 ?????1????1??2???1???4?1??2? 平面应力 (2.17)

在平面应变情况下,有:

??1????02??14(1??1)??1????0??24(1??2)2 (2.18)

故?关于?1为单调增函数,关于?2为单调减函数。所以,当考虑0???0.5时,有:

?max??min(1??)?0(1??)?0.5?1???24(1?0)4(1?0.5)44 (2.19)

?(1??)?0(1??)?0???????24(1?0.5)4(1?0)44??在平面应力的情况下,同样的方法可以得到:

?max????min3188 (2.20)

31???88 - 13 -

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因而,Dunders参数的值域如图2.3所示。其中阴影部分是平面应力状态下结合材 料的Dundurs参数的取值范围,外侧的平行四边形的域内为平面应变状态时的取值范围,显然,平面应变状态下取值范围应该更大一些。

平面应力

平面应变

材料1

材料2

图2.3 Dunders参数的取值范围 图2.4 二维界面端模型

2.5 平面界面端附近的奇异应力场

对于图2.4所示的理想结合的双材料界面端模型。在极坐标系下,界面连续条件和自由边界条件可以表达为:

ur1?ur2, v?1?v?2, ??1???2, ?r?1??r?2 在??0处 (2.21)

??1??r?1?0 在???1处

??1??r?2?0 在???2处 (2.22)

取Goursat 的应力函数为:

?j?AjZ?BjZ,?j?CjZ?DjZ,j?1,2 (2.23)

??????这里j?1,2对应于材料1和材料2。则由平面问题的应力函数性质可得:

??j?i?r?j_??2i(??1)???Aj?e?Bj?e?i(??1)??Cj?ei(??1)??r??1???2??? ??Bj?ei(??1)??Aj?e?i(??1)??Dj?e?i(??1)??r??1???_?_??

_???i(??1)??i(??1)?2?j(urj?iv?j)??kjAje?Bj?e?Dje?i(??1)??r????? ??kjBjei(??1)??Aj?e?i(??1)??Cje?i(??1)??r????????? (2.24)

代入(2.17)式和(2.18)式的界面连续条件和自由边界条件,得联立线性方程式:

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